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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

6.6. Usando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales:
e) $\int \sin^{2}(\theta) d \theta$

Respuesta

⚠️ Esta integral la resolvimos en la clase "Integrales por partes que salen usando algún truquito". Yo dejo acá la resolución en texto sólo para que quede, pero te recomiendo fuertemente que mejor mires la resolución en la clase grabada! :)

$\int \sin^{2}(\theta) d \theta = \int \sin(\theta) \cdot \sin(\theta) \, d\theta$

Vamos a resolverla aplicando la fórmula de partes, tomamos:

$ f' = \sin(\theta) \rightarrow f = -\cos(\theta) $ $ g = \sin(\theta) \rightarrow g' = \cos(\theta) $ Reemplazamos estas funciones en nuestra fórmula: $ \int \sin(\theta) \cdot \sin(\theta) d \theta = (-\cos(\theta)) \cdot \sin(\theta) - \int (-\cos(\theta)) \cdot \cos(\theta) d \theta = -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \int \cos^{2}(\theta) d \theta $

Ahora reescribimos $cos^2(\theta)$ como $1 - \sin^2(\theta)$

$= -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \int 1 - \sin^{2}(\theta) d \theta $

Separamos la integral

$= -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \int 1 \, d \theta - \int \sin^{2}(\theta) d \theta $

$= -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \theta - \int \sin^{2}(\theta) d \theta $

Y ahora recapitulemos, llegamos a que

$\int \sin^{2}(\theta) d \theta = -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \theta - \int \sin^{2}(\theta) d \theta $

Pasamos la integral de la derecha para el otro lado

$2 \cdot \int \sin^{2}(\theta) d \theta = -\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \theta $

Pasamos el $2$ dividiendo y ya estamos:

$\int \sin^{2}(\theta) d \theta = \frac{1}{2} \cdot [-\cos(\theta) \cdot \sin(\theta) + \theta ] + C$

(Repito, esta integral merece una explicación en vivo, por eso la vimos en la clase. Si todavia no viste esa clase y no entendiste nada de lo que pasó, es normal, andá a mirar la clase por favor jaja y seguro ahí se acomoden bastante las ideas)
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