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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral
6.18.
Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
a) $A=\left\{0 \leq y \leq x^{2} ; x \leq 2\right\}$
a) $A=\left\{0 \leq y \leq x^{2} ; x \leq 2\right\}$
Respuesta
En este problema tenemos dos funciones involucradas (le ponemos nombre jeje)
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$f(x) = x^2$ y $g(x) = 0$
Y además nos imponen un límite de integración, $x=2$.
(Aclaro todo esto porque la manera en la que está escrita el enunciado puede confundir)
Entonces, vamos a seguir los pasos que vimos en las clases de cálculo de áreas:
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
$x^2 = 0$
$x = 0$
Por lo tanto, $f$y $g$ se intersecan en $x=0$.
2) Nos fijamos quién es techo y quién es piso
En este caso nos quedó delimitado el intervalo $(0,2)$. Si evaluamos $f$ y $g$ en cualquier punto de ese intervalo, es re fácil ver que $f$ va a ser techo y $g$ va a ser piso.
De hecho, esto coincide con lo que nos dice el enunciado $0 \leq y \leq x^{2}$
3) Planteamos el integral del área
$A = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \,dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 0) \,dx$
4) Calculamos la integral:
$\int_{0}^{2} x^2 \,dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}$
Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{8}{3}$
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