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                                ANÁLISIS MATEMÁTICO 66                                UBA XXI                            
                            
                            
                            
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                                                6.18.
                                                Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.                                                                                            
                                            
b) $B=\left\{x^{2} \leq y \leq x\right\}$
                                    b) $B=\left\{x^{2} \leq y \leq x\right\}$
Respuesta
                                            En este problema, tenemos dos funciones involucradas:
$f(x) = x$ y $g(x) = x^2$
No tenemos límites de integración impuestos, así que necesitamos identificar los puntos de intersección para usarlos como límites de integración. Arrancamos:
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
Igualamos $f(x)$ y $g(x)$:
$x = x^2$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Las soluciones son $x = 0$ y $x = 1$
Esto significa que $f$ y $g$ se intersecan en los puntos $x = 0$ y $x = 1$.
2) Nos fijamos quién es techo y quién es piso
En el intervalo $(0, 1)$, evaluamos $f$ y $g$ para determinar cuál es el "techo" y cuál es el "piso":
En este caso $f(x)$ es el techo y $g(x)$ es el piso, ya que $f(x) > g(x)$ para cualquier $x$ que elijas en el intervalo $(0, 1)$.
                                                                    
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                            De hecho, esto coincide con lo que nos dice el enunciado: $x^{2} \leq y \leq x$ 
3) Planteamos la integral del área
$A(x) = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \,dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx$
4) Calculamos la integral:
$\int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{1}{6}$
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