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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.18.
Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
c) $C=\left\{y \geq x^{2}-4 x+3 ; y \leq 0\right\}$
c) $C=\left\{y \geq x^{2}-4 x+3 ; y \leq 0\right\}$
Respuesta
En este problema, estamos trabajando con dos funciones involucradas:
$f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = 0$
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
Igualamos $f(x)$ a $g(x)$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Si resolvés esta cuadrática, vas a llegar a que las soluciones son $x = 1$ y $x = 3$
Por lo tanto, $f$ y $g$ se intersecan en $x = 1$ y $x = 3$.
2) Nos fijamos quién es techo y quién es piso
Reportar problema
En el intervalo $(1,3)$, evaluamos $f$ y $g$ para determinar cuál es el "techo" y cuál es el "piso". En este caso $g(x)$ es el techo y $f(x)$ es el piso. Y de hecho esto nuevamente coincide con la desigualdad que nos escribían en el enunciado.
3) Planteamos la integral del área
$A = \int_{1}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{1}^{3} (0 - (x^2 - 4x + 3)) \, dx = = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx$
Calculamos la integral:
$\int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \Big|_{1}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) = \frac{4}{3}$
Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{4}{3}$
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