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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.18.
Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
d) $D=\left\{y \geq x^{2} ; y \geq \frac{1}{x} ; x \geq 0 ; y \leq 4\right\}$
d) $D=\left\{y \geq x^{2} ; y \geq \frac{1}{x} ; x \geq 0 ; y \leq 4\right\}$
Respuesta
Acá en este caso tenemos tres funciones involucradas, ojo!
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$f(x) = x^2$
$g(x) = \frac{1}{x}$
$h(x) = 4$
y además nos aclaran que $x \geq 0$
Entre los ejercicios de parcial de cálculo de área encerrada, fijate que hay uno donde te explico específicamente cómo calcular el área encerrada cuando hay tres funciones involucradas. Antes de seguir te recomiendo que mires esa clase si todavía no lo hiciste.
La clave en ese caso está en graficar las funciones para entender mejor qué está pasando. Son funciones fáciles del estilo Práctica 1 que deberías acordarte cómo se grafican a esta altura jaja... Mirá, yo ahí las grafiqué y quedan así:
Ves el área encerrada que quedó entre las tres funciones en la región $x \geq 0$, no?
Ahora, mirando el gráfico veamos qué intersecciones necesitamos para nuestros límites de integración:
* Intersección entre la homográfica y $y = 4$
$\frac{1}{x} = 4$
$x = \frac{1}{4}$
* Intersección entre la homográfica y la parábola
$\frac{1}{x} = x^2$
$x = 1$
* Intersección entre la parábola y $y = 4$
$x^2 = 4$
$x = 2$ (nos quedamos sólo con esta solución porque estamos en la región $x \geq 0$
Ya tenemos entonces los límites de integración y ahora nos fijamos en el gráfico quién es techo y quién es piso en cada pedacito (que además siempre coincide con la desigualdad que nos planteaba el enunciado)
La integral del área nos queda así:
$A(x) = \int_{\frac{1}{4}}^{1} 4 - \frac{1}{x} \, dx + \int_{1}^{2} 4 - x^2 \, dx = 4x - \ln|x|\Big|_{\frac{1}{4}}^{1} + 4x - \frac{x^3}{3}\Big|_{1}^{2} = 4 - (4 \cdot \frac{1}{4} - \ln|\frac{1}{4}|) + (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot 1 - \frac{1^3}{3}) = \frac{14}{3} + \ln(\frac{1}{4}) \approx 3.28... $
Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{14}{3} + \ln(\frac{1}{4})$ (y lo dejás así escrito eh, no es necesario pasarlo a decimales... sólo te recomiendo meterlo en la calcu para chequear que sea positivo, nada más)