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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
e) $E=\left\{y \leq x^{2} ; y \geq \frac{1}{x} ; 0 \leq x \leq 2\right\}$

Respuesta

En este problema, estamos trabajando con dos funciones involucradas: $f(x) = x^2$ y $g(x) = \frac{1}{x}$

Además nos imponen que $ 0 \leq x \leq 2$
  1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$ Igualamos $f(x)$ a $g(x)$

$x^2 = \frac{1}{x}$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Por lo tanto, $f$ y $g$ se intersecan en $x=1$

2) Techo y piso

Si evaluas $f$ y $g$ en cada intervalo que te quedó delimitado, deberías llegar a que:

Intervalo $(0,1)$: $g$ es techo y $f$ es piso

Intervalo $(1,2)$: $f$ es techo y $g$ es piso

Ahora atenti al enunciado, a nosotrxs nos dicen que $y \leq x^{2}$ y además $y \geq \frac{1}{x}$, es decir, estamos viendo únicamente donde $f(x) = x^2$ es techo y $g(x) = \frac{1}{x}$ es piso! Así que solo vamos a calcular el área entre $1$ y $2$.

Extra: Probá de graficar las funciones en GeoGebra ¿Qué pasa entre $x=0$ y $x=1$? Una de las funciones se está yendo a infinito, así que el área en ese pedacito ni siquiera va a estar definida!

3) Planteamos la integral del área y la resolvemos

$A(x) = \int_{1}^{2} (x^2 - \frac{1}{x}) \, dx = \frac{x^3}{3} - \ln|x|\Big|_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - \ln(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \ln(1) \right) = \frac{8}{3} - \ln(2) - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} - \ln(2)$

Por lo tanto, el area encerrada es $\frac{7}{3} - \ln(2)$
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Avatar Matias 29 de mayo 21:46
flor, no entiendo lo de que y tiene que ser menor o igual a x^2 y mayor o igual a 1/x. osea si lo veo graficado entiendo que pasa, pero si tomo solo el enunciado no
Avatar Flor Profesor 29 de mayo 23:35
@Matias Hola Mati! Si, medio que como está escrito en este ejercicio confunde jaja porque en realidad después nunca lo ves escrito así... Cuando te dice $y \leq x^2$, te están diciendo que $x^2$ es techo, porque estás viendo todo lo que es menor o igual... y al revés con la otra función que es piso, o sea eso es lo único que te dice extra esta manera de escribirlo
Avatar Matias 29 de mayo 23:39
ya entendí creo, es como que es lo que está abajo de la curva en este caso, gracias
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