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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
e) E={y≤x2;y≥1x;0≤x≤2}E=\left\{y \leq x^{2} ; y \geq \frac{1}{x} ; 0 \leq x \leq 2\right\}

Respuesta

En este problema, estamos trabajando con dos funciones involucradas: f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x}

Además nos imponen que 0≤x≤2 0 \leq x \leq 2
  1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg Igualamos f(x)f(x) a g(x)g(x)

x2= 1xx^2 = \frac{1}{x}

x3=1x^3 = 1

x=1x = 1

Por lo tanto, ff y gg se intersecan en x=1x=1

2) Techo y piso

Si evaluas ff y gg en cada intervalo que te quedó delimitado, deberías llegar a que:

Intervalo (0,1)(0,1): gg es techo y ff es piso

Intervalo (1,2)(1,2): ff es techo y gg es piso

Ahora atenti al enunciado, a nosotrxs nos dicen que y≤x2y \leq x^{2} y además y≥1xy \geq \frac{1}{x}, es decir, estamos viendo únicamente donde f(x)=x2f(x) = x^2 es techo y g(x)= 1xg(x) = \frac{1}{x} es piso! Así que solo vamos a calcular el área entre 11 y 22.

Extra: Probá de graficar las funciones en GeoGebra ¿Qué pasa entre x=0x=0 y x=1x=1? Una de las funciones se está yendo a infinito, así que el área en ese pedacito ni siquiera va a estar definida!

3) Planteamos la integral del área y la resolvemos

A(x)=∫12(x2−1x) dx= x33−ln⁡∣x∣∣12= (233−ln⁡(2))−(133−ln⁡(1))=83−ln⁡(2)−13=73−ln⁡(2)A(x) = \int_{1}^{2} (x^2 - \frac{1}{x}) \, dx = \frac{x^3}{3} - \ln|x|\Big|_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - \ln(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \ln(1) \right) = \frac{8}{3} - \ln(2) - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} - \ln(2)

Por lo tanto, el area encerrada es 73−ln⁡(2)\frac{7}{3} - \ln(2)
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Matias
29 de mayo 21:46
flor, no entiendo lo de que y tiene que ser menor o igual a x^2 y mayor o igual a 1/x. osea si lo veo graficado entiendo que pasa, pero si tomo solo el enunciado no
0 Responder
Flor
PROFE
29 de mayo 23:35
@Matias Hola Mati! Si, medio que como está escrito en este ejercicio confunde jaja porque en realidad después nunca lo ves escrito así... Cuando te dice y≤x2y \leq x^2, te están diciendo que x2x^2 es techo, porque estás viendo todo lo que es menor o igual... y al revés con la otra función que es piso, o sea eso es lo único que te dice extra esta manera de escribirlo
0 Responder
Matias
29 de mayo 23:39
ya entendí creo, es como que es lo que está abajo de la curva en este caso, gracias
0 Responder