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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.18.
Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
g) G es la región que encierran las gráficas de $f(x)=x^{2}-x-2, g(x)=x+1$
g) G es la región que encierran las gráficas de $f(x)=x^{2}-x-2, g(x)=x+1$
Respuesta
En este problema tenemos dos funciones involucradas:
Reportar problema
$f(x)=x^{2}-x-2$ y $g(x)=x+1$
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
$x^{2} - x - 2 = x + 1$
Llevamos todos los términos al mismo lado para que nos quede una cuadrática igualada a cero.
$x^{2} - x - x - 2 - 1 = 0$
$x^{2} - 2x - 3 = 0$
Si resolvés esta cuadrática llegás a dos soluciones, $x=3$ y $x=-1$
Por lo tanto, estos son los puntos de intersección entre $f$ y $g$.
2) Techo y piso
Elegimos un número cualquiera del intervalo $(-1,3)$ y evaluamos en $f$ y $g$. Si hacés eso, vas a ver que $g$ es techo y $f$ es piso.
3) Nos armamos la integral del área
$A = \int_{-1}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-1}^{3} ((x + 1) - (x^{2} - x - 2)) \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^{2} + 2x + 3) \, dx$
Resolvemos la integral:
$A = \int_{-1}^{3} (-x^{2} + 2x + 3) \, dx = \left(-\frac{1}{3}x^{3} + x^{2} + 3x\right) \Big|_{-1}^{3} = \left(-\frac{1}{3}(3)^{3} + (3)^{2} + 3(3)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-1)^{3} + (-1)^{2} + 3(-1)\right) = \frac{32}{3}$
Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{32}{3}$