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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
g) G es la región que encierran las gráficas de $f(x)=x^{2}-x-2, g(x)=x+1$

Respuesta

En este problema tenemos dos funciones involucradas:

$f(x)=x^{2}-x-2$ y $g(x)=x+1$

1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$

$x^{2} - x - 2 = x + 1$ Llevamos todos los términos al mismo lado para que nos quede una cuadrática igualada a cero. $x^{2} - x - x - 2 - 1 = 0$ $x^{2} - 2x - 3 = 0$

Si resolvés esta cuadrática llegás a dos soluciones, $x=3$ y $x=-1$ Por lo tanto, estos son los puntos de intersección entre $f$ y $g$. 

2) Techo y piso

Elegimos un número cualquiera del intervalo $(-1,3)$ y evaluamos en $f$ y $g$. Si hacés eso, vas a ver que $g$ es techo y $f$ es piso. 

3) Nos armamos la integral del área

$A = \int_{-1}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-1}^{3} ((x + 1) - (x^{2} - x - 2)) \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^{2} + 2x + 3) \, dx$

Resolvemos la integral:

$A = \int_{-1}^{3} (-x^{2} + 2x + 3) \, dx = \left(-\frac{1}{3}x^{3} + x^{2} + 3x\right) \Big|_{-1}^{3} = \left(-\frac{1}{3}(3)^{3} + (3)^{2} + 3(3)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-1)^{3} + (-1)^{2} + 3(-1)\right) = \frac{32}{3}$

Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{32}{3}$
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Avatar VICTORIA 28 de mayo 10:34
Hola Flor, la integral de x+1 no se calcula? no entendi bien 
Avatar Flor Profesor 29 de mayo 08:22
@VICTORIA Hola Vicky! Vos decís cuando llegamos acá?

$\int_{-1}^{3} ((x + 1) - (x^{2} - x - 2)) \, dx$

Ahi lo que hacemos es reescribir lo de adentro de la integral como un único polinomio, fijate que si distribuis el menos de adelante del paréntesis te queda

$\int_{-1}^{3} (x + 1 - x^{2} + x + 2) \, dx$

Y ahi agrupamos 

$\int_{-1}^{3} (- x^{2} + 2x +3) \, dx$

y ahi calculamos la integral
Avatar VICTORIA 29 de mayo 08:53
@Flor Ahh gacias Floor!
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