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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.18.
Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
h) H es la región que encierran las curvas $y=\cos(2x), y=0$ con $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$
h) H es la región que encierran las curvas $y=\cos(2x), y=0$ con $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$
Respuesta
En este tenemos dos funciones involucradas:
Reportar problema
$f(x) = \cos(2x)$ y $g(x) = 0$
Además nos imponen dos límites de integración, $x=0$ y $x= \frac{\pi}{2}$
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
En este caso, queremos ver si hay algún punto de intersección entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$. Planteamos la ecuación:
$\cos(2x) = 0$
Sip. Esto se resuelve con todo lo que vimos en la Práctica 1 para resolver ecuaciones trigonométricas. Con lo que vimos en esa práctica, la única solución a esta ecuación en el intervalo $(0, \frac{\pi}{2})$ es $x= \frac{\pi}{4}$.
2) Techo y piso
En el intervalo $(0, \frac{\pi}{4}) \rightarrow$ $f$ es techo y $g$ es piso.
En el intervalo $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \rightarrow$ $g$ es techo y $f$ es piso.
3) Planteamos la integral del área
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(2x) - 0) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (0 - \cos(2x)) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx = A1 - A2$
Resolvemos cada integral A1 y A2 por separado, así no se hace tan cuentoso:
A1
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}$
Aclaración: La primitiva de $\cos(2x)$ sale por sustitución!
A2
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)\Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}$
Por lo tanto,
$A = A1 - A2 = \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
El área encerrada es $1$.
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