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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.18.
Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
j) J es la región que encierran las gráficas de $f(x)=\sqrt[3]{x}, g(x)=x^{2}$
j) J es la región que encierran las gráficas de $f(x)=\sqrt[3]{x}, g(x)=x^{2}$
Respuesta
En este caso tenemos dos funciones involucradas:
Reportar problema
$f(x)=\sqrt[3]{x}$ y $g(x)=x^{2}$
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
$\sqrt[3]{x} = x^2$
Elevamos al cubo ambos miembros:
$(\sqrt[3]{x})^{3} = (x^{2})^{3}$
$x = x^{6}$
$x^6 - x = 0$
$x (x^5 - 1) = 0$
Y las soluciones de esta ecuación son $x=0$ y $x=1$, por lo tanto, estos son los puntos de intersección entre $f$ y $g$.
2) Techo y piso
Si evaluamos $f$ y $g$ en el intervalo $(0,1)$, deberías ver que $f$ es techo y $g$ es piso.
3) Planteamos la integral del área
$A = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x} - x^{2}) \, dx$
Resolvemos la integral, es de tabla (acordate de escribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{1/3}$ 😉)
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{x} - x^{2}) \, dx = \left(\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{3}x^{3}\right) \Big|_{0}^{1} = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} - 0 = \frac{5}{12}$
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