$f(x) = x^{2}-x-2$, $g(x) = x+1$ y $h(x) = 0$

y además nos imponen que $x \geq 0$

¿Tres funciones involucradas? Mmmm, nos pasa lo mismo que en el item d) de este Ejercicio. Nuevamente te sugiero que si no viste la clase de cómo calcular el área cuando hay tres funciones involucradas, la veas primero. Como vimos ahí, la clave está en graficar las funciones para tener una idea de qué está pasando. Son fáciles che, es una cuadrática, la recta $x+1$ y el eje $x$, deberías poder hacerlo jaja... Obtenemos este gráfico:

La ves el área encerrada entre las tres funciones? Y no te olvides que estamos mirando sólo el pedacito para $x$ mayores o iguales que cero. Necesitamos entonces el punto de intersección entre...

* La parábola y el eje $x$

$x^{2}-x-2 = 0$

Fórmula resolvente y nos quedamos únicamente con la solución mayor a cero, $x = 2$. Entonces, para esto te vas ayudando con el gráfico, en el intervalo $(0,2)$, $g$ (la lineal) es techo y $h$ (el eje $x$) es piso. 

* La lineal y la parábola

$x^{2}-x-2 = x+1$

Esto ya lo resolvimos en el item g) y nos quedamos únicamente con la solución mayor a cero, $x=3$. Entonces, de nuevo ayudándonos con el gráfico, en el intervalo $(2,3)$, la lineal $g$ es techo y la parábola $f$ es piso. 

Con todo esto ya nos podemos construir la integral del área:

$A = \int_{0}^{2} (x+1) \, dx + \int_{2}^{3} x+1 - (x^2-x-2) \, dx $

$A = \int_{0}^{2} (x+1) \, dx + \int_{2}^{3} x+1 - x^2+x+2 \, dx $

$A = \int_{0}^{2} (x+1) \, dx + \int_{2}^{3} -x^2+2x+3 \, dx $

La resolvemos

$\int_{0}^{2} (x+1) \, dx + \int_{2}^{3} -x^2+2x+3 \, dx = \left(\frac{x^2}{2} + x\right) \Big|_{0}^{2} + \left( -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x  \right) \Big|_{2}^{3} = 4 + \frac{5}{3} = \frac{17}{3}$

Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{17}{3}$