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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
l) L={yx2x2;y0;x0;yx+1}L=\left\{y \geq x^{2}-x-2 ; y \geq 0 ; x \geq 0 ; y \leq x+1\right\}

Respuesta

En este caso tenemos tres funciones involucradas

f(x)= x2x2f(x) = x^{2}-x-2, g(x)=x+1g(x) = x+1 y h(x)=0h(x) = 0

y además nos imponen que x0x \geq 0

¿Tres funciones involucradas? Mmmm, nos pasa lo mismo que en el item d) de este Ejercicio. Nuevamente te sugiero que si no viste la clase de cómo calcular el área cuando hay tres funciones involucradas, la veas primero. Como vimos ahí, la clave está en graficar las funciones para tener una idea de qué está pasando. Son fáciles che, es una cuadrática, la recta x+1x+1 y el eje xx, deberías poder hacerlo jaja... Obtenemos este gráfico:

2024-04-30%2017:50:46_9361492.png

La ves el área encerrada entre las tres funciones? Y no te olvides que estamos mirando sólo el pedacito para xx mayores o iguales que cero. Necesitamos entonces el punto de intersección entre...

* La parábola y el eje xx

x2x2=0x^{2}-x-2 = 0

Fórmula resolvente y nos quedamos únicamente con la solución mayor a cero, x=2x = 2. Entonces, para esto te vas ayudando con el gráfico, en el intervalo (0,2)(0,2), gg (la lineal) es techo y hh (el eje xx) es piso. 

* La lineal y la parábola

x2x2=x+1x^{2}-x-2 = x+1

Esto ya lo resolvimos en el item g) y nos quedamos únicamente con la solución mayor a cero, x=3x=3. Entonces, de nuevo ayudándonos con el gráfico, en el intervalo (2,3)(2,3), la lineal gg es techo y la parábola ff es piso. 

Con todo esto ya nos podemos construir la integral del área:

A=02(x+1)dx+ 23x+1(x2x2)dxA = \int_{0}^{2} (x+1) \, dx + \int_{2}^{3} x+1 - (x^2-x-2) \, dx

A=02(x+1)dx+ 23x+1x2+x+2dxA = \int_{0}^{2} (x+1) \, dx + \int_{2}^{3} x+1 - x^2+x+2 \, dx

A=02(x+1)dx+ 23x2+2x+3dxA = \int_{0}^{2} (x+1) \, dx + \int_{2}^{3} -x^2+2x+3 \, dx

La resolvemos

02(x+1)dx+ 23x2+2x+3dx = (x22+x)02+ (x33+x2+3x )23=4+53=173\int_{0}^{2} (x+1) \, dx + \int_{2}^{3} -x^2+2x+3 \, dx = \left(\frac{x^2}{2} + x\right) \Big|_{0}^{2} + \left( -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x  \right) \Big|_{2}^{3} = 4 + \frac{5}{3} = \frac{17}{3}

Por lo tanto, el área encerrada es 173\frac{17}{3}
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