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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.19. Dada la curva $f(x)=a x-x^{2}$, hallar el valor de $a \in \mathbb{R}^{+}$ tal que el área encerrada entre la curva y el eje de abscisas sea 36. Representar la curva y el área.
Respuesta
Este tipo de ejercicios es muy común que aparezca en parciales, así que atenti. Te recomiendo que primero hayas visto la clase donde resolvemos el ejercicio "Hallar $a$ para que el área encerrada entre dos funciones sea...", ahí charlamos bien cómo encararlos.
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En este caso tenemos dos funciones involucradas:
$f(x) = ax-x^2$ y $g(x) = 0$ (si, el eje de abscisas es el eje $x$)
Entonces, vamos a encarar este ejercicio como siempre, obtendremos el área que seguramente nos quede dependiendo de $a$ y, al final, pediremos que esta área valga $36$ y de ahí despejamos $a$ 😉 Este sería el plan a seguir jeje arrancamos buscando los puntos de intersección entre $f$ y $g$
$ax-x^2 = 0$
$x (a -x) = 0$
Las soluciones de esta ecuación son $x=0$ y $x=a$. Estos son los puntos de intersección entre $f$ y $g$.
Aclaración: Fijate que nos dicen que $a \in \mathbb{R}^{+}$, es decir, sabemos que $a >0$. Esto lo vamos a tener que tener en cuenta ahora para armarnos la integral del área.
Ahora, tema techo y piso... No sabemos el valor de $a$ pero pensemos en los gráficos de las funciones: $f$ es una parábola carita triste (cóncava hacia abajo) y tiene raíces en $x=0$ y $x=a$. Te das cuenta que no queda otra opción que, en el intervalo $(0,a)$ la parábola sea techo y el eje $x$ sea piso? Haceme caso, hacé el gráfico y lo vas a ver enseguida.
Entonces, la integral del área nos queda así:
$A = \int_{0}^{a} (ax - x^2 - 0) \, dx$
Ahora resolvemos la integral, que es de tabla (acordate que $a$ es simplemente un número)
$\int_{0}^{a} (ax - x^2) \, dx = \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \Big|_{0}^{a} = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} = \frac{a^3}{6}$
Perfecto, calculamos el área y nos dio que es $\frac{a^3}{6}$
Ahora, nosotros queríamos que fuera $36$, así que pedimos eso, despejamos $a$ y ya estamos 😉
$\frac{a^3}{6} = 36$
$a^3 = 216$
$a = \sqrt[3]{216}$
$a = 6$
Por lo tanto, el valor de $a$ que necesitamos para que el área encerrada sea $36$ es $a = 6$.