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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.3. Hallar un valor NN a partir del cual todos los terminos a partir de dicho NN verifiquen que
b) an=n2−8n−3a_{n}=n^{2}-8 n-3 sea mayor que 100

Respuesta

Ahora necesitamos encontrar el primer nn que verifica que 

n2−8n−3>100n^{2}-8 n-3 > 100

Si pasamos el 100100 restando para el otro lado:

n2−8n−3−100>0n^{2}-8 n-3-100 > 0

n2−8n−103>0n^{2}-8 n -103 > 0

Y podemos hacer un análisis similar al que hicimos en el item anterior, pero ahora graficando la función x2−8x−103x^2 - 8x -103. Si buscás las raíces de esta cuadrática, son x=4±119 x = 4 \pm \sqrt{119} . Es decir, la raíz que está en los xx positivos es x=4+119≈14.9... x = 4 + \sqrt{119} \approx 14.9...

Y ahora, volvemos de nuevo a nuestra variable nn, que sólo toma valores naturales. Entonces, cuál es el primer nn que verificará que n2−8n−103>0n^{2}-8 n -103 > 0 si la raíz de esta cuadrática estaba en ≈14.9...\approx 14.9...? Bueno, es n=15n=15. 

Es decir, n=15n = 15 es el primer natural que verifica que 

n2−8n−103>0n^{2}-8 n -103 > 0

lo que es equivalente a cumplir que 

n2−8n−3>100n^{2}-8 n-3 > 100
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