Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
CABANA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
7.3.
Hallar un valor $N$ a partir del cual todos los terminos a partir de dicho $N$ verifiquen que
d) $a_{n}=\frac{n+5}{n^{2}+1}$ esté entre 0 y 1
d) $a_{n}=\frac{n+5}{n^{2}+1}$ esté entre 0 y 1
Respuesta
En este caso la inecuación que tenemos es...
Reportar problema
$ 0 < \frac{n+5}{n^2+1} < 1 $
Lo primero que quiero que veas es que la desigualdad de la izquierda, es decir, \( \frac{n+5}{n^2+1} > 0 \), se cumple siempre para todo $n$ natural.
Ahora veamos la otra desigualdad:
$\frac{n+5}{n^2+1} < 1 $
Si pasamos $n^+ 1$ multiplicando para el otro lado (que es positivo, así que estamos tranqui con el signo de la desigualdad) nos queda:
$n + 5 < n^2 + 1$
$n^2 + 1 - n - 5 > 0$
$n^2 - n - 4 > 0$
Y ahora hacemos el mismo análisis que venimos haciendo en los items anteriores. Si graficás la parábola $x^2 -x -4$, vas a ver que es cóncava hacia arriba y su raíz en los $x$ positivos está en $x = \frac{-1 -\sqrt{17}}{-2} \approx 2.56...$
Y si ahora volvemos a la variable $n$ natural, vemos que es positiva a partir de $n = 3$.
Aclaración: Estoy viendo en la guía que ponen que la respuesta correcta es a partir de $n = 4$. Verifique muchas veces esto, incluso podés probar de graficar la función $\frac{x+5}{x^2+1}$ y el primer natural para el cual toma un valor menor que $1$ es $n = 3$. Asi que estoy bastante segura que la respuesta correcta efectivamente es a partir de $n = 3$.