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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.3. Hallar un valor NN a partir del cual todos los terminos a partir de dicho NN verifiquen que
d) an=n+5n2+1a_{n}=\frac{n+5}{n^{2}+1} esté entre 0 y 1

Respuesta

En este caso la inecuación que tenemos es...

0<n+5n2+1<1 0 < \frac{n+5}{n^2+1} < 1

Lo primero que quiero que veas es que la desigualdad de la izquierda, es decir, n+5n2+1>0 \frac{n+5}{n^2+1} > 0 , se cumple siempre para todo nn natural. 

Ahora veamos la otra desigualdad:

n+5n2+1<1\frac{n+5}{n^2+1} < 1

Si pasamos n+1n^+ 1 multiplicando para el otro lado (que es positivo, así que estamos tranqui con el signo de la desigualdad) nos queda:

n+5<n2+1n + 5 < n^2 + 1

n2+1−n−5>0n^2 + 1 - n - 5 > 0

n2−n−4>0n^2 - n - 4 > 0

Y ahora hacemos el mismo análisis que venimos haciendo en los items anteriores. Si graficás la parábola x2−x−4x^2 -x -4, vas a ver que es cóncava hacia arriba y su raíz en los xx positivos está en x=−1−17−2≈2.56...x = \frac{-1 -\sqrt{17}}{-2} \approx 2.56...

Y si ahora volvemos a la variable nn natural, vemos que es positiva a partir de n=3n = 3. 

Aclaración: Estoy viendo en la guía que ponen que la respuesta correcta es a partir de n=4n = 4. Verifique muchas veces esto, incluso podés probar de graficar la función x+5x2+1\frac{x+5}{x^2+1} y el primer natural para el cual toma un valor menor que 11 es n=3n = 3. Asi que estoy bastante segura que la respuesta correcta efectivamente es a partir de n=3n = 3. 
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