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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.3. Hallar un valor NN a partir del cual todos los terminos a partir de dicho NN verifiquen que
g) an=n+5n+1a_{n}=\frac{n+5}{n+1} esté entre 0,5 y 1,5

Respuesta

Ahora nuestra desigualdad es esta:

0.5<n+5n+1<1.5 0.5 < \frac{n+5}{n+1} < 1.5

Resolvemos cada desigualdad por separado:

Desigualdad 1: n+5n+1>0.5 \frac{n+5}{n+1} > 0.5

n+5>0.5(n+1)n + 5 > 0.5 (n+1)

n+5>0.5n+0.5n + 5 > 0.5n + 0.5

0.5n>−4.50.5 n > -4.5

n>−9n > -9

Todo nn natural es mayor a −9-9, por lo tanto, esta desigualdad se cumple para todos los nn naturales. Vamos con la otra:

Desigualdad 2: n+5n+1<1.5 \frac{n+5}{n+1} < 1.5

n+5<1.5(n+1)n+ 5 < 1.5(n+1)

n+5<1.5n+1.5n + 5 < 1.5n + 1.5

0.5n>3.50.5n > 3.5

n>7n > 7

Es decir, esta desigualdad se cumple siempre que nn sea mayor estricto que 77. Por lo tanto, el primer nn natural que cumple ambas desigualdades es n=8n = 8. 
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