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Análisis Matemático 66
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CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
7.4.
Para cada sucesión indicar su límite al infinito
b) $a_{n}=\sqrt{n^{2}+2 n-1}-\sqrt{n^{2}+2}$
b) $a_{n}=\sqrt{n^{2}+2 n-1}-\sqrt{n^{2}+2}$
Respuesta
Este límite lo vamos a resolver igual que como hacíamos en la Práctica $2$. Ya en el item anterior refrescamos un poquito cómo salvábamos estas indeterminaciones, así que ahora en este voy un poco más rápido:
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$ \lim_{{n \to +\infty}} \left( \sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{n^2 + 2} \right) $
$ \lim_{{n \to +\infty}} \left( \sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{n^2 + 2} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}} $
$ \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{(\sqrt{n^2 + 2n - 1})^2 - (\sqrt{n^2 + 2})^2}}{{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}}} $
$ \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{n^2 + 2n - 1 - (n^2 + 2)}}{{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}}} = \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{2n - 3}}{{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}}} $
$ \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{n(2 - \frac{3}{n})}}{{\sqrt{n^2(1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2})} + \sqrt{n^2(1 + \frac{2}{n^2})}}} $
$ \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{n(2 - \frac{3}{n})}}{{n\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + n\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}}} $
$ \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{n(2 - \frac{3}{n})}}{{n(\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}})}} $
Simplificamos las $n$ y tomamos límite:
$ \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{2 - \frac{3}{n}}}{{\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}}} = \frac{2}{2} = 1$
Entonces, el límite de la sucesión cuando \(n\) tiende a infinito es:
$ \lim_{{n \to +\infty}} \sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{n^2 + 2} = 1 $