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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.4. Para cada sucesión indicar su límite al infinito
b) an=n2+2n−1−n2+2a_{n}=\sqrt{n^{2}+2 n-1}-\sqrt{n^{2}+2}

Respuesta

Este límite lo vamos a resolver igual que como hacíamos en la Práctica 22. Ya en el item anterior refrescamos un poquito cómo salvábamos estas indeterminaciones, así que ahora en este voy un poco más rápido:

lim⁡n→+∞(n2+2n−1−n2+2) \lim_{{n \to +\infty}} \left( \sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{n^2 + 2} \right)

lim⁡n→+∞(n2+2n−1−n2+2)⋅n2+2n−1+n2+2n2+2n−1+n2+2 \lim_{{n \to +\infty}} \left( \sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{n^2 + 2} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}} lim⁡n→+∞(n2+2n−1)2−(n2+2)2n2+2n−1+n2+2 \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{(\sqrt{n^2 + 2n - 1})^2 - (\sqrt{n^2 + 2})^2}}{{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}}}

lim⁡n→+∞n2+2n−1−(n2+2)n2+2n−1+n2+2=lim⁡n→+∞2n−3n2+2n−1+n2+2 \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{n^2 + 2n - 1 - (n^2 + 2)}}{{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}}} = \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{2n - 3}}{{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + \sqrt{n^2 + 2}}}

lim⁡n→+∞n(2−3n)n2(1+2n−1n2)+n2(1+2n2) \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{n(2 - \frac{3}{n})}}{{\sqrt{n^2(1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2})} + \sqrt{n^2(1 + \frac{2}{n^2})}}}

lim⁡n→+∞n(2−3n)n1+2n−1n2+n1+2n2 \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{n(2 - \frac{3}{n})}}{{n\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + n\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}}}

lim⁡n→+∞n(2−3n)n(1+2n−1n2+1+2n2) \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{n(2 - \frac{3}{n})}}{{n(\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}})}}

Simplificamos las nn y tomamos límite:

lim⁡n→+∞2−3n1+2n−1n2+1+2n2=22=1 \lim_{{n \to +\infty}} \frac{{2 - \frac{3}{n}}}{{\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}}} = \frac{2}{2} = 1

Entonces, el límite de la sucesión cuando nn tiende a infinito es: lim⁡n→+∞n2+2n−1−n2+2=1 \lim_{{n \to +\infty}} \sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{n^2 + 2} = 1
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