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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.4. Para cada sucesión indicar su límite al infinito
e) an=3n+(−1)n3n+1+(−1)n+1a_{n}=\frac{3^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}

Respuesta

Ahora queremos resolver este límite:

lim⁡n→+∞ 3n+(−1)n3n+1+(−1)n+1\lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}

Arrancamos reescribiendo en el denominador 3n+13^{n+1} como 3n⋅33^n \cdot 3

lim⁡n→+∞ 3n+(−1)n 3n⋅3 +(−1)n+1\lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n}+(-1)^{n}}{ 3^n \cdot 3 +(-1)^{n+1}}

Ahora sacamos factor común 3n3^n en numerador y denominador ("el que manda")

lim⁡n→+∞ 3n(1+(−1)n3n)3n(3+(−1)n+13n)\lim_{n \to +\infty} \frac{3^n(1 + \frac{(-1)^n}{3^n})}{3^n(3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n})}

Simplificamos:

lim⁡n→+∞  1+(−1)n3n3+(−1)n+13n\lim_{n \to +\infty}  \frac{1 + \frac{(-1)^n}{3^n}}{3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n}}

Fijate que (−1)n3n\frac{(-1)^n}{3^n} y (−1)n+13n\frac{(-1)^{n+1}}{3^n} tienden a 00 por "cero por acotada", como en el item c). Entonces, cuando tomamos límite nos queda:

lim⁡n→+∞  1+(−1)n3n3+(−1)n+13n=13\lim_{n \to +\infty}  \frac{1 + \frac{(-1)^n}{3^n}}{3 + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} = \frac{1}{3}
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