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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
7.4.
Para cada sucesión indicar su límite al infinito
f) $a_{n}=\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3}\right)^{\frac{3}{n}}$
f) $a_{n}=\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3}\right)^{\frac{3}{n}}$
Respuesta
Queremos calcular ahora este límite
Reportar problema
$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3}\right)^{\frac{3}{n}}$
Veamos por separado a dónde tiende el paréntesis y a dónde tiende el exponente:
Exponente:
$\lim_{n \to +\infty} \frac{3}{n} = 0$
Paréntesis:
$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3}$
Y acá vale todo lo que vimos en la Práctica 2 para polinomios! Mirá, tenemos polinomios de igual grado... ¿a dónde tiende eso? A $1/2$ (mirábamos el número que acompañaba a la potencia más grande de $n$ arriba y abajo, y si queríamos lo podíamos justificar sacando factor común $n^2$, te acordás?)
$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3} = \frac{1}{2}$
Por lo tanto,
$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3}\right)^{\frac{3}{n}} = (\frac{1}{2})^0 = 1$