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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.4. Para cada sucesión indicar su límite al infinito
f) an=(n2+12n2+3)3na_{n}=\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3}\right)^{\frac{3}{n}}

Respuesta

Queremos calcular ahora este límite

lim⁡n→+∞ (n2+12n2+3)3n\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3}\right)^{\frac{3}{n}}

Veamos por separado a dónde tiende el paréntesis y a dónde tiende el exponente:

Exponente: 

lim⁡n→+∞3n=0\lim_{n \to +\infty} \frac{3}{n} = 0

Paréntesis: 

lim⁡n→+∞ n2+12n2+3\lim_{n \to +\infty} \frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3}

Y acá vale todo lo que vimos en la Práctica 2 para polinomios! Mirá, tenemos polinomios de igual grado... ¿a dónde tiende eso? A 1/21/2 (mirábamos el número que acompañaba a la potencia más grande de nn arriba y abajo, y si queríamos lo podíamos justificar sacando factor común n2n^2, te acordás?)

lim⁡n→+∞ n2+12n2+3=12\lim_{n \to +\infty} \frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3} = \frac{1}{2}

Por lo tanto,

lim⁡n→+∞ (n2+12n2+3)3n=(12)0=1\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3}\right)^{\frac{3}{n}} = (\frac{1}{2})^0 = 1
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