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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

7.4. Para cada sucesión indicar su límite al infinito
g) an=(n2+1n2+3)3na_{n}=\left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}+3}\right)^{3 n}

Respuesta

Primero, identifiquemos en qué situación estamos. Fijate que el paréntesis (n2+1n2+3)\left(\frac{n^2+1}{n^2+3}\right), tiende a 11 cuando nn tiende a infinito (son polinomios de igual grado, no? te acordás cómo nos dábamos cuenta a dónde tendía?), y el exponente 3n3n tiende a infinito. Así que tenemos una indeterminación de tipo "1 elevado a infinito". Y las vamos a salvar de la misma manera que vimos en la Práctica 22, voy despacio igual así hacemos un repaso: Recordemos como siempre que... limx(1+"Algo que tiende a cero")"Algo dado vuelta"=e\lim_{x \rightarrow \infty} (1+ \text{"Algo que tiende a cero"})^{\text{"Algo dado vuelta"}}=e. Vamos a intentar que nos aparezca esta expresión en nuestro límite. En este caso, primero trabajamos en el paréntesis para que nos aparezca la expresión (1+"Algo" que tiende a cero)(1+ \text{"Algo" que tiende a cero}). Sumamos y restamos 11 adentro del paréntesis: limn(1+n2+1n2+31)3n\lim _{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{n^2+1}{n^2+3} - 1)^{3n} Ahora hacemos la resta n2+1n2+31\frac{n^2+1}{n^2+3} - 1 para expresar esto como una única fracción: limn(1+n2+1(n2+3)n2+3)3n\lim _{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{n^2+1 - (n^2+3)}{n^2+3})^{3n} limn(1+2n2+3)3n\lim _{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{-2}{n^2+3})^{3n} Perfecto, ya tenemos en el paréntesis algo de la forma "1 + algo que tiende a cero". Ahora nos faltaría tener ese "algo" dado vuelta en el exponente. Bueno, lo agregamos: limn[(1+2n2+3)n2+32]2n2+33n\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{-2}{n^2+3}\right)^{\frac{n^2+3}{-2}} \right]^{\frac{-2}{n^2+3} \cdot 3n} Genial, ya sabemos que lo que está en corchetes tiende a ee. Calculamos el límite del exponente en un cálculo auxiliar: limn6nn2+3=limn6nn2(1+3n2)=limn6n(1+3n2)=0\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-6n}{n^2+3} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-6n}{n^2(1+\frac{3}{n^2})} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-6}{n(1+\frac{3}{n^2})} = 0 Listo, ya sabemos que el exponente tiende a 00, entonces el resultado del límite es: limn(n2+1n2+3)3n=e0=1\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^2+1}{n^2+3}\right)^{3n} = e^0 = 1
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