Sabemos que la función que relaciona grados Celsius (\(^\circ C\)) y grados Fahrenheit (\(^\circ F\)) es una función lineal, es decir que es de la forma $y=mx + b$. Nosotros queremos meterle a "nuestra máquina" una temperatura en °C y que nos arroje a cuanto equivale en °F... Te das cuenta que en este contexto la $x$ van a ser los grados en °C y la $y$ son los grados en °F?
El enunciado nos da como dato dos conversiones conocidas, que las podemos expresar como puntos de nuestra recta:
1. \( (0, 32) \): Cuando \( C = 0 \), \( F = 32 \).
2. \( (100, 212) \): Cuando \( C = 100 \), \( F = 212 \).
Planteamos el sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: \( 32 = m \cdot 0 + b \) → Para \( (0, 32) \)
Ecuación 2: \( 212 = m \cdot 100 + b \) → Para \( (100, 212) \)
De la Ecuación 1 obtenemos al toque \( b = 32 \)
Ahora que conocemos \( b \), reemplazamos $b$ en la segunda ecuación para encontrar \( m \):
\( 212 = 100m + 32 \)
Despejamos $m$
\( 212 - 32 = 100m \)
\( 180 = 100m \)
\( m = \frac{9}{5} \)
Ya tenemos tanto la pendiente (\( m \)) como la ordenada al origen (\( b \)), así que la ecuación de nuestra recta es:
$ g(x) = \frac{9}{5}x+ 32 $
Perfecto! Ahora queremos hallar una función lineal a la cual yo le "meta" una temperatura en °F y me diga a cuanto corresponde en °C... Mmm, ahora cambiamos los roles, no? Nuestra coordenada $x$ ahora van a ser los grados Fahrenheit y nuestra coordenada $y$ los grados Celsius. Sería esta función: $h(x) = mx + b$
Entonces, mucho cuidado ahora... ¿Cuáles van a ser los puntos de paso de nuestra recta?
\( (32, 0) \) y \( (212, 100) \)
¡Claaaro, invertimos las coordenadas $x$ e $y$!
Bueno, seguimos como siempre, planteamos el sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: \( 0 = m \cdot 32 + b \) → Para \( (32, 0) \)
Ecuación 2: \( 100 = m \cdot 212 + b \) → Para \( (212, 100) \)
De la Ecuación 1 despejamos $b$:
$0 = 32 m + b$
$ b = -32 m$
Ahora reemplazamos este valor en la Ecuación 2:
$100 = 212m -32m$
$100=180m$
$m = \frac{100}{180}$
$m = \frac{5}{9}$
Perfecto, tenemos la pendiente. Ahora reemplazamos en la expresión donde habíamos despejado $b$:
$b = -32 \cdot m = -32 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{160}{9}$
Por lo tanto, la función lineal que estábamos buscando es...
$h(x)= \frac{5}{9}x -\frac{160}{9}$
Spoiler: Esta última función lineal que acabamos de encontrar es la inversa de la primera... Ya lo vamos a ver en la clase de Función Inversa, pero ya que estás acá, me gustaría que vayas viendo esta idea de que la función inversa es como la "máquina" pero funcionando al revés. A la primera función yo le metía una temperatura en C° y me devolvía un resultado en °F. A la inversa, le meto una temperatura en °F y me la devuelve en °C.
