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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1: Funciones Reales

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8. Trace el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas. Determine en cada caso el conjunto imagen.
d) f(x)=−(x−5)2f(x)=-(x-5)^{2}

Respuesta

Vamos a seguir con esta otra función cuadrática, siguiendo el esquema que vimos en la clase y que ya refrescamos en el item a)

f(x)=−(x−5)2f(x)=-(x-5)^{2}

Una manera de encarar esta cuadrática es desarrollando ese cuadrado para llevarla a la forma polinómica, que es la clásica de siempre con la forma y=ax2+bx+cy= ax^2 + bx + c

¿Te acordás cómo hacíamos eso? Usamos que (a−b)2=a2−2⋅a⋅b+b2(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2

En este caso nos quedaría:

f(x)=−[x2−2⋅x⋅5+52]f(x) = - [x^2 - 2\cdot x \cdot 5 + 5^2] f(x)=−[x2−10x+25]f(x) = - [x^2 - 10x + 25]

Distribuimos el signo −- y ya estamos:

f(x)=−x2+10x−25f(x) = -x^2 +10x -25

Perfecto, entonces ahora vemos claramente que para esta cuadrática a=−1a = -1, b=10b=10 y c=−25c=-25.

1. La parábola tiene concavidad hacia abajo, es decir, es una "carita triste" (ya que a=−1a=-1, es negativo) 2. Buscamos las raíces resolviendo f(x)=0f(x) = 0:

−x2+10x−25=0-x^2 +10x -25 = 0

Si aplicamos la fórmula resolvente en este caso, con a=−1a = -1, b=10b=10 y c=−25c=-25, vemos que ff tiene una única raíz en x=5x=5

(Si elegías la expresión original para igualar a cero, ahí quedaba todavía más obvio que la única raíz era x=5x=5, sin necesidad de hacer ninguna resolvente)

3. Calculamos el vértice. Para el xx del vértice planteamos x=−102⋅(−1)x = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} =5= 5 . 

Para el yy del vértice planteamos f(5)=0f(5) = 0. Por lo tanto, el vértice está en (5,0)(5,0). 

Listo, ya tenemos todo para graficarla, nos quedaría algo así... 


2024-03-06%2016:50:56_1560336.png

La imagen fijate que va desde −∞-\infty hasta el yy del vértice, es decir, es el conjunto (−∞,0](-\infty,0]
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tiziana
30 de julio 21:41
Holaa. En este punto la parte que se encuentra el y del vertice no entiendo porque se plantea f(5) = 0. Igualado a cero pense que tenia que volverse a escribir la funcion y reemplazar las x por lo que te dio en la vertice de la x. 
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tiziana
30 de julio 21:54
Por que** y otra duda para el vertice en x que el 5 es positivo. Poniendo -10 me da -5, por que vos pones el - en toda la funcion y no el 10🤨 gracias!
0 Responder
Flor
PROFE
31 de julio 8:55
@tiziana Hola Tizi! Respondo a tus dudas:

1) Para encontrar el yy del vértice lo que hacemos es reemplazar x=5x=5 (que era el xx del vértice) en la ff... haciendo eso, fijate que nos queda:

f(5)=−(5−5)2=0f(5)=-(5-5)^{2} = 0

O sea, yo ahí puse directamente el resultado que daba hacer f(5)f(5), por eso puse únicamente f(5)=0f(5) = 0. Pero lo que estamos haciendo es reemplazar xx por 55 y haciendo la cuenta, que en este caso nos da cero.

2) Por otro lado, escribir esto de esta manera:

x=−102⋅(−1)x = -\frac{10}{2 \cdot (-1)}

o escribirlo así:

x=−102⋅(−1)x = \frac{-10}{2 \cdot (-1)}

es exactamente lo mismo, son equivalentes. 

En ambos casos nos termina quedando −10−2\frac{-10}{-2} que nos da 55 

Avisame porfa si ahora va quedando más claro!
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