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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2: Números Reales

4. Considere los siguientes conjuntos
A={1n/nN}\left\{\frac{1}{n} / n \in \mathbb{N}\right\} B={nn+1/nN}\left\{\frac{n}{n+1} / n \in \mathbb{N}\right\} C=(0,7)(0,7)
D=N\mathbb{N} E={n1n2/nN}\left\{n-\frac{1}{n^{2}} / n \in \mathbb{N}\right\} F={1,2,3,4}\{1,2,3,4\}
G={5;5,9;5,99;}\{5 ; 5,9 ; 5,99 ; \ldots\} H={xR/x2<1}\{x \in \mathbb{R} /|x-2|<1\} I={xR/x>3}\{x \in \mathbb{R} /|x|>3\}

a) ¿Cuáles están acotados superiormente?

Respuesta

Primero, repasemos el concepto de cota superior. Como vimos en la clase, un número kk es cota superior de nuestro conjunto si todos\textbf{todos} los elementos del conjunto son menores o iguales que kk

Entonces, vamos a analizar para cada conjunto si está acotado superiormente o no. 

A =\textbf{A =} Este conjunto lo pensamos en la clase (a partir del minuto 14:30) y ahí nos dimos cuenta que este conjunto si estaba acotado superiormente. La cota superior es el conjunto [1,+)[1, +\infty). Ahora, acordate que la menor de todas las cotas superiores era el supremo (en este caso sería 11). Si el supremo pertenece al conjunto, entonces decimos que es el máximo. En este caso, 11 pertenece al conjunto, así que el conjunto tiene máximo y es el 11

B =\textbf{B =} Al igual que como hicimos en clase con el conjunto AA, vamos a escribir los primeros términos de este conjunto para tener una idea más clara de qué está pasado. Voy reemplazando nn por cada natural y obtengo estos elementos: {12,23,34,(...),99100,(...)}\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \text{(...)}, \frac{99}{100}, \text{(...)} \} ¿Te das cuenta que, a medida que nn es más grande, los números se acercan más al 11 y nunca lo van a superar? En particular, nunca va a llegar a valer exactamente 11. Entonces, este conjunto está acotado superiormente y la cota superior es el conjunto [1,+)[1, +\infty). El 11 es el supremo, pues es la menor de la cotas superiores, pero en este caso no pertenece al conjunto, por lo tanto, no hay máximo. Aclaración: Los conjuntos AA y BB son sucesiones y vamos a aprender mucho más para trabajar con ellas a partir de la práctica que viene 😉 C =\textbf{C =} Este conjunto está acotado superiormente y la cota superior es [7,+)[7, +\infty). El 77 es el supremo, ya que es la menor de la cotas superiores, pero en este caso no pertenece al conjunto, por lo tanto, no hay máximo. D =\textbf{D =} Este conjunto son todos los números naturales, obviamente no está acotado superiormente. E =\textbf{E =} Esta es otra sucesión, y te prometo que a partir de la práctica que viene (cuando ya sepamos tomar límite) te va a resultar mucho más obvio que este conjunto no está acotado superiormente. Por ahora, te podrías dar cuenta empezando a probar con varios naturales y viendo que cada vez obtenes números más y más grandes, sin un "tope" jaja F =\textbf{F =} Este conjunto si está acotado superiormente. La menor de todas las cotas superiores es el 44, así que es el supremo, y además, como pertenece al conjunto, decimos que es el máximo. G =\textbf{G =} Este conjunto también está acotado superiormente, la cota superior es [6,+)[6, +\infty). Por lo tanto, 66 es el supremo y, como no pertenece al conjunto, no es máximo. H =\textbf{H =} Este conjunto está formado por todos los números reales xx que verifican esta inecuación: x2<1|x-2|<1 Si abrimos el módulo y despejamos... 1<x2<1-1 < x-2 < 1 1<x<31 < x < 3 Es decir, es el conjunto (1,3)(1,3). Este conjunto está acotado superiormente, de hecho su cota superior es [3,+)[3, +\infty). En este caso 33 es el supremo y, como no pertenece al conjunto, no es máximo. I =\textbf{I =} Este conjunto está formado por todos los números reales cuyo módulo es mayor a 33, es decir, es el conjunto: (,3)(3,+)(-\infty, -3) \cup (3,+\infty)  
Este conjunto no está acotado superiormente. 
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