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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Considere los siguientes conjuntos
a) ¿Cuáles están acotados superiormente?
A= B= C=
D= E= F=
G= H= I=
a) ¿Cuáles están acotados superiormente?
Respuesta
Primero, repasemos el concepto de cota superior. Como vimos en la clase, un número es cota superior de nuestro conjunto si los elementos del conjunto son menores o iguales que .
Al igual que como hicimos en clase con el conjunto , vamos a escribir los primeros términos de este conjunto para tener una idea más clara de qué está pasado. Voy reemplazando por cada natural y obtengo estos elementos:
¿Te das cuenta que, a medida que es más grande, los números se acercan más al y nunca lo van a superar? En particular, nunca va a llegar a valer exactamente . Entonces, este conjunto está acotado superiormente y la cota superior es el conjunto . El es el supremo, pues es la menor de la cotas superiores, pero en este caso no pertenece al conjunto, por lo tanto, no hay máximo.
Aclaración: Los conjuntos y son sucesiones y vamos a aprender mucho más para trabajar con ellas a partir de la práctica que viene 😉
Este conjunto está acotado superiormente y la cota superior es . El es el supremo, ya que es la menor de la cotas superiores, pero en este caso no pertenece al conjunto, por lo tanto, no hay máximo.
Este conjunto son todos los números naturales, obviamente no está acotado superiormente.
Esta es otra sucesión, y te prometo que a partir de la práctica que viene (cuando ya sepamos tomar límite) te va a resultar mucho más obvio que este conjunto no está acotado superiormente. Por ahora, te podrías dar cuenta empezando a probar con varios naturales y viendo que cada vez obtenes números más y más grandes, sin un "tope" jaja
Este conjunto si está acotado superiormente. La menor de todas las cotas superiores es el , así que es el supremo, y además, como pertenece al conjunto, decimos que es el máximo.
Este conjunto también está acotado superiormente, la cota superior es . Por lo tanto, es el supremo y, como no pertenece al conjunto, no es máximo.
Este conjunto está formado por todos los números reales que verifican esta inecuación:
Si abrimos el módulo y despejamos...
Es decir, es el conjunto . Este conjunto está acotado superiormente, de hecho su cota superior es . En este caso es el supremo y, como no pertenece al conjunto, no es máximo.
Este conjunto está formado por todos los números reales cuyo módulo es mayor a , es decir, es el conjunto:
Reportar problema
Entonces, vamos a analizar para cada conjunto si está acotado superiormente o no.
Este conjunto lo pensamos en la clase (a partir del minuto 14:30) y ahí nos dimos cuenta que este conjunto si estaba acotado superiormente. La cota superior es el conjunto . Ahora, acordate que la menor de todas las cotas superiores era el supremo (en este caso sería ). Si el supremo pertenece al conjunto, entonces decimos que es el máximo. En este caso, pertenece al conjunto, así que el conjunto tiene máximo y es el .
Este conjunto no está acotado superiormente.