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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Para cada una de las siguientes sucesiones, proponga el término general $a_{n}$ y clasifique las mismas en convergentes o divergentes.
d) $\frac{1}{2},-\frac{1}{4}, \frac{1}{8},-\frac{1}{16}, \ldots$
d) $\frac{1}{2},-\frac{1}{4}, \frac{1}{8},-\frac{1}{16}, \ldots$
Respuesta
Acá es cuando esto ya no empieza a ser tan trivial y no pretendo que todxs vean claramente cuál es el término general de esta sucesión. A los fines de la materia en sí, esto lo vamos a hacer en este problema y después nunca más, nadie en el parcial te va a pedir algo de este estilo. Obviamente dependiendo la carrera que sigas está bueno que empieces a ver esto y ganar un poco de intuición, pero para quitarle dramatismo al asunto jaja
Reportar problema
Fijate que de nuevo tenemos un signo que va alternando, y en el denominador tenemos todas potencias de $2$. Podemos expresar el término general de la sucesión como:
$ a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{2^n} $
Para determinar si la sucesión es convergente o divergente, observemos su límite cuando \( n \) tiende a infinito:
$ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2^n} = 0$
Al igual que antes, tenemos un denominador que se está yendo a infinito, y un numerador que alterna entre $1$ y $-1$, número sobre algo que se está yendo a infinito, esto nos da cero. Por lo tanto, la sucesión es convergente.
(Aclaro por las dudas que esto recién empieza, ahora en los próximos ejercicios nos vamos a cansar de practicar y practicar límites, de nuevo, no pretendo que todas las ideas estén cerrando ahora ya en este ejercicio, tenemos todavía casi $40$ problemas por delante jeje)