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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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3. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
e) en=n3+2n2−1e_{n}=\frac{\sqrt{n^{3}}+2}{n^{2}-1}

Respuesta

Queremos calcular este límite:

lim⁡n→∞n3+2n2−1\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^{3}}+2}{n^{2}-1}

Y si bien lo del numerador no es un polinomio (porque tenemos n32n^{\frac{3}{2}} y eso estrictamente no es un polinomio, la potencia tendría que ser un número natural), a "efectos prácticos", podemos pensarlo "como si fuera un polinomio" y lo trabajamos igual que los límites anteriores. ¿Entonces qué hacemos? Y claro, sacamos factor común el que manda... mirá como nos queda:

lim⁡n→∞n3/2(1+2n3/2)n2(1−1n2)\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3/2}(1 + \frac{2}{n^{3/2}})}{n^2(1 - \frac{1}{n^2})}

Ahora, usando reglas de potencias: 

n3/2n2=n32−2=n−12=1n12=1n\frac{n^{3/2}}{n^2} = n^{\frac{3}{2} - 2} = n^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{n}}

Entonces,

lim⁡n→∞n3/2(1+2n3/2)n2(1−1n2)=lim⁡n→∞1n⋅(1+2n3/2)(1−1n2)=0\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3/2}(1 + \frac{2}{n^{3/2}})}{n^2(1 - \frac{1}{n^2})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{(1 + \frac{2}{n^{3/2}})}{(1 - \frac{1}{n^2})} = 0

Acá en este ejercicio se empieza a notar lo importante y recontra clave que es tener bien en claras las reglas de potenciación 😉
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tiziana
25 de agosto 22:46
Hola profe! no termino de entender la parte que pasa de n a la -1/2 A n a la 1/2 en el denominador, no se si se guia, cuando usas las reglas de potencia (tercer paso). O sea, aparece eso q tengo n a la 3/2 -2, perfecto, pero dspues no se si poner la rta abajo o como queda numerador/denominador con la parte de la n
0 Responder
Flor
PROFE
26 de agosto 9:06
@tiziana 
@tiziana Hola Tizi! Sisi, entendí cual era el paso :)

Cuando restamos los exponentes y nos queda

n−1/2n^{-1/2}

eso es exactamente lo mismo que tener

1n1/2\frac{1}{n^{1/2}}

(o sea, cuando le cambiamos el signo al exponente, pasa del numerador al denominador) 

Tranqui que esto es una duda muy común al principio, pero es importante que quede bien en claro porque se empieza a usar todo el tiempo a partir de ahora y hasta el final. Acá en el curso lo encontrás explicado en la parte de Repaso de matemática -> Reglas de potenciación, ahí hay una clase donde explico estas reglas...

Avisame porfa si queda claro reviendo la clase, y sino lo seguimos charlando :)
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Facu
10 de mayo 14:21
Hola, hay alguna pagina o algo donde esten todas las reglas que vayan a ser necesarias?
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Flor
PROFE
10 de mayo 16:32
@Facu Hola Facu! Las reglas de potenciación están en una de las primeras clases, en la parte de Ejercicios Preliminares -> Repaso de Matemática -> Reglas de potenciación :)

Y de paso, acá en la guía muchas veces aparecen ejercicios donde menciono propiedades de logaritmos, para esas armé un apunte que lo encontrás en Funciones -> Funciones elementales -> Propiedades de los logaritmos

Avisame cualquier cosa! :)
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Maria
6 de mayo 17:35
Hola profe, no entendí una cosa, el 1/√n  tiende a 0?
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Flor
PROFE
7 de mayo 9:02
@Maria Hola María! Siiii, exacto, porque fijate que nn tiende a infinito, entonces tenés un número sobre algo que tiende a infinito, eso se va a cero :)
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