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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
e) $e_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-n-3}$
e) $e_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-n-3}$
Respuesta
Queremos calcular:
$ \lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - n - 3} \right) $
Bueno, nuevamente estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Como te decía antes, la presencia de las raíces cuadradas nos hace sospechar que seguramente nos ayude multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión, así que vamos por ahí:
$ \lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - n - 3} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}} $
Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 1})^2 - (\sqrt{n^2 - n - 3})^2}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}} $
Simplificamos el cuadrado con la raíz (mucho ojo ahí no te me olvides del paréntesis!)
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 1 - (n^2 - n - 3)}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 4}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - n - 3}} $
Y ahora llegamos a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". La salvamos sacando factor común "el que manda", arrancamos por adentro de las raíces:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 4}{\sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} + \sqrt{n^2(1 - \frac{1}{n} - \frac{3}{n^2})}} $
Distribuimos la raíz:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 4}{n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + n \sqrt{1 - \frac{1}{n} - \frac{3}{n^2}}} $
Sacamos factor común \( n \) en el numerador y en el denominador:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n (1 + \frac{4}{n})}{n(\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n} - \frac{3}{n^2}})} $
Simplificamos las $n$ y tomamos límite
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{4}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n} - \frac{3}{n^2}}} = \frac{1}{2} $
Por lo tanto, el límite de la sucesión cuando \( n \) tiende a infinito es:
$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - n - 3} = \frac{1}{2} $
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