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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
g) $g_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$
g) $g_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$
Respuesta
Calculamos ahora este límite:
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$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$
Y ahora sí, volvieron las indeterminaciones "infinito menos infinito". Arrancamos multiplicando y dividiendo por el conjugado como hicimos en los items anteriores...
$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $
Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados y simplificamos, nos queda...
$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $
Ahora estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz:
$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{n(1+\frac{2}{n})} + \sqrt{n}} $
Distribuimos la raíz y sacamos factor común $\sqrt{n}$ en el denominador, nos queda:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n} \cdot 2}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1)} $
Simplificamos \(\sqrt{n}\) y tomamos límite:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1} = 1 $
Por lo tanto, el resultado de este límite es...
$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = 1 $