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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
j) $j_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n})$

Respuesta

Ya casi terminamos, resolvemos ahora este límite:

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n})$

¿Ya te sabés de memoria todo lo que voy a decir, no? Infinito menos infinito, raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos por conjugado, vamos con eso...

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n^{2}+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{2}+2}+\sqrt{n}} $ Escribimos el numerador como una diferencia de cuadrados y simplificamos, nos queda... $ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{n^{2}+2-n}{\sqrt{n^{2}+2}+\sqrt{n}} $

Sacamos factor común $n^2$ adentro de la raiz:

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{n^{2}+2-n}{\sqrt{n^{2} (1+\frac{2}{n^2})}+\sqrt{n}} $

Distribuimos la raíz, simplificamos...

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{n^{2}+2-n}{n \sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{n}} $

Sacamos factor común $n^2$ en el numerador y $n$ en el denominador...

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{n^2 (1 + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n})}{n (\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\frac{\sqrt{n}}{n})} $

Usando propiedades de potenciación podemos reescribir un par de cositas...

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n})}{(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n}})} $

Tomamos límite y el resultado es...

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n})}{(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n}})} = +\infty$
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Avatar Valentin 28 de abril 03:00
Hola, ¿Por qué después de distribuir y simplificar la raiz, en el denominador hay una n multiplicando a la raiz?
Avatar Flor Profesor 28 de abril 10:13
@Valentin Hola Valen! A ver, te desgloso un poco los pasos en ese denominador a ver si lo ves más claro:

$\sqrt{n^{2} (1+\frac{2}{n^2})}+\sqrt{n} = \sqrt{n^2} \sqrt{(1+\frac{2}{n^2})} +\sqrt{n} = n \sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{n}$

Era en esa parte tu duda?
Avatar Valentin 28 de abril 16:45
Sí, muchas gracias!
Avatar Benjamin 19 de abril 16:31
Otra duda, por que la raiz de n sobre n, queda en 1 sobre raiz de n?
Avatar Flor Profesor 20 de abril 08:15
@Benjamin Esto también es por reglas de potencias, mirá:

$\frac{\sqrt{n}}{n} = n^{1/2 - 1} = n^{-1/2} = \frac{1}{n^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$

Te aviso por si no la viste, que en la parte de Ejercicios Preliminares hay una clase cortita de reglas de potenciación, seguro te sirva para que todo esto termine de quedar claro!
Avatar Benjamin 24 de abril 17:23
okale gracias flor
Avatar Benjamin 19 de abril 16:27
No entiendo por que el n termina elevado a la 3/2. Osea, quedaria la raiz de n, ahora escrita como n a la 1/2 POR n al cuadrado sobre n. Quedaria 1/2+2 y todo esto sobre n (osea 1)?? Porque segun mi logica 1/2+2 da 2,5, o nose si contaria que como es una multiplicacion de fraccion, quedaria (1*2)/(2*1), osea 2 sobre 2 =1. 
Avatar Flor Profesor 20 de abril 08:12
@Benjamin Hola Benja! Fijate que vos tenés esto:

$\frac{\sqrt{n} \cdot n^2}{n}$

Usando reglas de potencias lo escribís así:

$n^{1/2 + 2 - 1} = n^{3/2}$

Por eso te queda $n^{3/2}$
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