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$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n+2}-\sqrt{n}$
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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Calcule, si existen, los siguientes límites
b) $\lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$
b) $\lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$
Respuesta
El límite que queremos calcular es
$\lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$
Fijate que tenemos $(-1)^n$ que es una sucesión que está acotada, multiplicando al paréntesis, que en principio es una indeterminación "infinito menos infinito" y no tenemos ni idea cuánto da. Qué lindo sería que ese paréntesis se esté yendo a cero, no? Jeje, así podríamos usar "cero x acotada". Veremos, veremos, en principio salvemos esa indeterminación en un cálculo auxiliar:
Cálculo auxiliar
Multiplicamos y dividimos por el conjugado:
$ \lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $
Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados y simplificamos, nos queda...
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = 0$
Impecable, ya sabemos que el paréntesis se está yendo a $0$, tal como queríamos jeje...
Por lo tanto, por "cero x acotada", este límite da...
$\lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}) = 0$