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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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5. Calcule, si existen, los siguientes límites
b) lim⁡n→∞(−1)n(n+2−n)\lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})

Respuesta

El límite que queremos calcular es 

lim⁡n→∞(−1)n(n+2−n)\lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})

Fijate que tenemos (−1)n(-1)^n que es una sucesión que está acotada, multiplicando al paréntesis, que en principio es una indeterminación "infinito menos infinito" y no tenemos ni idea cuánto da. Qué lindo sería que ese paréntesis se esté yendo a cero, no? Jeje, así podríamos usar "cero x acotada". Veremos, veremos, en principio salvemos esa indeterminación en un cálculo auxiliar:

Cálculo auxiliar

lim⁡n→+∞n+2−n \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n+2}-\sqrt{n}

Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

lim⁡n→+∞(n+2−n)⋅n+2+nn+2+n \lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados y simplificamos, nos queda... lim⁡n→+∞(n+2)−nn+2+n=lim⁡n→+∞2n+2+n=0 \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = 0

Impecable, ya sabemos que el paréntesis se está yendo a 00, tal como queríamos jeje... 

Por lo tanto, por "cero x acotada", este límite da...

lim⁡n→∞(−1)n(n+2−n)=0\lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}) = 0
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