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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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6. Calcule el siguiente límite \[ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right) \]

Respuesta

Para calcular este límite

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right)$

vamos a dividir el problema en dos partes. Vamos a ver primero a dónde tiende el primer sumando, en un cálculo auxiliar 1, y después la segunda parte en un cálculo auxiliar 2.

Cálculo auxiliar 1

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n}{n+1} $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", pero se trata de un cociente de polinomios, donde ambos tienen el mismo grado (😉)... Te das cuenta "a ojo" que eso tiende a $3$, no? Bueno, ahora justifiquémoslo sacando factor común el que manda:

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n(1+\frac{1}{n})} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{1+\frac{1}{n}} = 3$

Cálculo auxiliar 2

$\lim _{n \rightarrow \infty} (-1)^{n} \cdot \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}} $

Veamos que tenemos una sucesión que está acotada $(-1)^n$ multiplicando a otra... qué lindo sería que tienda a cero, pues  ✨cero por acotada, cero ✨ Veamos...

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}} $

Es una indeterminación infinito sobre infinito, sacamos factor común el que manda arriba y abajo:

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^5 (1+\frac{\cos n}{n^5})}{n^6(\frac{2}{n^6}-1)}$

Simplificamos, y además fijate que $\frac{\cos(n)}{n^5}$ tiende a $0$, por cero x acotada, entonces...

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+\frac{\cos n}{n^5})}{n(\frac{2}{n^6}-1)} = 0$

Por lo tanto, 

$\lim _{n \rightarrow \infty} (-1)^n \cdot \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}} = 0$

Y entonces el límite original nos da...

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right) = 3 + 0 = 3$
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Avatar Román 30 de abril 15:42
Hola profe. Te iba a consultar algo pero mientras escribía medio que me fui dando cuenta (eso creo)

2025-04-30%2015:33:34_3155200.png
En el numerador sería (1+0), mientras que en el denominador n(0-1) = -n
Por lo que sería 1/ -n , lo que da el 0 como resultado final. Es así o me equivoco?
Otra cosa que te quería comentar es, si se puede hacer algo más con los seno y coseno que estan en los ejercicios o solo estan ahí como una especie de "trampa", ya que aparecieron en otros ejercicios y siempre tienden a 0
Avatar Flor Profesor 1 de mayo 08:59
@Román Hola Román! Exactoooo, es así como vos decís! Cuando tomamos límite, el numerador tiende a $1$ mientras que en el denominador, como nos quedó $-n$, tiende a $-\infty$ -> Así que un número dividido algo que tiende a infinito, tiende a cero :)

Por otro lado, ojo que los pobres senos y cosenos no están ahí como una trampa eh jajajaaj las trigonométricas van a seguir apareciendo siempre, pero es muy importante entender cómo se comportan... porque acá en este caso eso tiende a cero porque te queda un "cero por acotada" cuando tomás límite a + infinito, pero a partir de la próxima práctica, nos van a aparecer en otros límites donde ya no vamos a tener necesariamente siempre "cero por acotada" 
Avatar GARCÍA 11 de abril 21:20
No daria 3? 

Avatar Flor Profesor 11 de abril 21:27
@GARCÍA Jajaja si 😂 Claramente fue un error de tipeo al final, gracias Aldi por avisarme! Mañana lo editooo! 
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