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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

7. Halle los valores de aa y bb para que limnan6+3bn4+2n5n43n+4=4 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a n^{6}+3 b n^{4}+2 \sqrt{n}}{5 n^{4}-3 n+4}=4

Respuesta

Atenti con esta situación, nosotros queremos que este límite

limnan6+3bn4+2n5n43n+4\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a n^{6}+3 b n^{4}+2 \sqrt{n}}{5 n^{4}-3 n+4}

nos de exactamente 44

Y para eso tenemos que encontrar cuánto tienen que valer aa y bb. Ahora, lo primero que veo yo acá es que, independientemente del valor de aa y bb tengo una indeterminación "infinito sobre infinito", un cociente de polinomios, no? Y si aa es distinto de 00, entonces el polinomio de arriba va a ser de grado 66 y el polinomio de abajo de grado 44. Por lo tanto, este límite, si aa fuera cualquier número distinto de cero, jamás de los jamases me podría dar 44, me daría infinito... lo ves? En cambio, si a=0a=0, entonces tenemos dos polinomios de igual grado y ahí si, perfecto, este límite me va a dar un número (que es lo que queremos, queremos que nos de 44

Entonces, con este razonamiento ya arrancamos el problema dándonos cuenta que necesariamente a=0a=0. En ese caso, nos quedaría... 

limn3bn4+2n5n43n+4\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 b n^{4}+2 \sqrt{n}}{5 n^{4}-3 n+4}

Sacamos factor común n4n^4

limnn4(3b+21n7/2)n4(53n3+4n4)=limn3b+21n7/253n3+4n4=3b5 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{4} \cdot (3b +2\frac{1}{n^{7/2}})}{n^4 \cdot (5-\frac{3}{n^3}+\frac{4}{n^4})} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3b +2\frac{1}{n^{7/2}}}{5-\frac{3}{n^3}+\frac{4}{n^4}} = \frac{3b}{5}

Perfecto, calculamos el límite y nos dio 3b5\frac{3b}{5}. Como queríamos que nos diera 44, entonces lo igualamos a 44 y despejamos bb, y ya estamos:

3b5=4\frac{3b}{5} = 4 b=203b = \frac{20}{3}

Por lo tanto, para que se cumpla lo que pide el enunciado a=0a=0b=203b = \frac{20}{3}
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tiziana
24 de septiembre 20:42
hola! esto lo deduciste por lo que nos dijiste al comienzo de todo no? polinomio de grado mayor/polinomio de grado menor que da infinito ? 
Flor
PROFE
25 de septiembre 9:34
@tiziana Hola Tizi! Exactooooo, estamos usando eso al principio! :)
1 Responder
Luisa
29 de abril 22:10
Hola profe, buenas noches, una pregunta...
porque cuando haces el factor común de n4 te da 1/n7/2 no seria 1/2 no entiendo como sacaste ese 1/n7/2
Flor
PROFE
30 de abril 7:52
@Luisa Hola Luisa! Es por esto: Cuando sacás factor común n4n^4 en el último término de ese paréntesis vos tendrías nn4\frac{\sqrt{n}}{n^4}. Ahora, por reglas de potencias, esto lo podés escribir así:

nn4=n1/24=n7/2=1n7/2\frac{\sqrt{n}}{n^4} = n^{1/2 - 4} = n^{-7/2} = \frac{1}{n^{7/2}}
1 Responder