$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a n^{6}+3 b n^{4}+2 \sqrt{n}}{5 n^{4}-3 n+4}$

nos de exactamente $4$. 

Y para eso tenemos que encontrar cuánto tienen que valer $a$ y $b$. Ahora, lo primero que veo yo acá es que, independientemente del valor de $a$ y $b$ tengo una indeterminación "infinito sobre infinito", un cociente de polinomios, no? Y si $a$ es distinto de $0$, entonces el polinomio de arriba va a ser de grado $6$ y el polinomio de abajo de grado $4$. Por lo tanto, este límite, si $a$ fuera cualquier número distinto de cero, jamás de los jamases me podría dar $4$, me daría infinito... lo ves? En cambio, si $a=0$, entonces tenemos dos polinomios de igual grado y ahí si, perfecto, este límite me va a dar un número (que es lo que queremos, queremos que nos de $4$) 

Entonces, con este razonamiento ya arrancamos el problema dándonos cuenta que necesariamente $a=0$. En ese caso, nos quedaría... 

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 b n^{4}+2 \sqrt{n}}{5 n^{4}-3 n+4}$

Sacamos factor común $n^4$

$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{4} \cdot (3b +2\frac{1}{n^{7/2}})}{n^4 \cdot (5-\frac{3}{n^3}+\frac{4}{n^4})} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3b +2\frac{1}{n^{7/2}}}{5-\frac{3}{n^3}+\frac{4}{n^4}} = \frac{3b}{5}$

Perfecto, calculamos el límite y nos dio $\frac{3b}{5}$. Como queríamos que nos diera $4$, entonces lo igualamos a $4$ y despejamos $b$, y ya estamos:

$\frac{3b}{5} = 4$ $b = \frac{20}{3}$

Por lo tanto, para que se cumpla lo que pide el enunciado $a=0$ y $b = \frac{20}{3}$