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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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8. Calcule el siguiente límite lim⁡n→∞(3+7n25+n2+n2+6n+17−n2+17). \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3+7 n^{2}}{5+n^{2}}+\sqrt{n^{2}+6 n+17}-\sqrt{n^{2}+17}\right) .

Respuesta

Queremos calcular este límite:

lim⁡n→∞(3+7n25+n2+n2+6n+17−n2+17)\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3+7 n^{2}}{5+n^{2}}+\sqrt{n^{2}+6 n+17}-\sqrt{n^{2}+17}\right)

Dividimos el problema en dos partes y calculamos el límite de cada uno de los sumandos en un cálculo auxiliar:

Cálculo auxiliar 1

lim⁡n→∞3+7n25+n2 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3+7 n^{2}}{5+n^{2}}

Ya hicimos muchas veces límites como estos, vamos, sacamos factor común y lo justificamos enseguida ;)

lim⁡n→∞n2⋅(3n2+7)n2⋅(5n2+1)=lim⁡n→∞3n2+75n2+1=7 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2 \cdot (\frac{3}{n^2}+7)}{n^2 \cdot (\frac{5}{n^2}+1)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3}{n^2}+7}{\frac{5}{n^2}+1} = 7 

Cálculo auxiliar 2

lim⁡n→∞n2+6n+17−n2+17\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2}+6 n+17}-\sqrt{n^{2}+17}

En este caso estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito", y con esas raíces cuadradas, mmm... sale multiplicar y dividir por el conjugado, no? 

lim⁡n→∞(n2+6n+17−n2+17)⋅n2+6n+17+n2+17n2+6n+17+n2+17 \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{n^{2}+6n+17} - \sqrt{n^{2}+17} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}}{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}} Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados: lim⁡n→∞(n2+6n+17)2−(n2+17)2n2+6n+17+n2+17 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{n^{2}+6n+17})^{2} - (\sqrt{n^{2}+17})^{2}}{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}} Simplificamos raíces con potencias: lim⁡n→∞n2+6n+17−n2−17n2+6n+17+n2+17=lim⁡n→∞6nn2+6n+17+n2+17 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+6n+17 - n^{2}-17}{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}} Llegamos a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", primero sacamos factor común n2 n^2 en las raíces: lim⁡n→∞6nn2(1+6n+17n2)+n2(1+17n2) \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{\sqrt{n^{2}(1+\frac{6}{n}+\frac{17}{n^{2}})} + \sqrt{n^{2}(1+\frac{17}{n^{2}})}} Distribuimos la raíz lim⁡n→∞6nn1+6n+17n2+n1+17n2 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{n\sqrt{1+\frac{6}{n}+\frac{17}{n^{2}}} + n\sqrt{1+\frac{17}{n^{2}}}} Sacamos factor común n n en el denominador: lim⁡n→∞6nn(1+6n+17n2+1+17n2) \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{n(\sqrt{1+\frac{6}{n}+\frac{17}{n^{2}}} + \sqrt{1+\frac{17}{n^{2}}})} Simplificamos las nn y tomamos límite lim⁡n→∞61+6n+17n2+1+17n2=62=3 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{n}+\frac{17}{n^{2}}} + \sqrt{1+\frac{17}{n^{2}}}} = \frac{6}{2} = 3

Perfecto, entonces ahora volvemos a nuestro límite original. Por álgebra de límites, el resultado total sale de sumar los dos límites que hicimos en los cálculos auxiliares y nos queda...

lim⁡n→∞(3+7n25+n2+n2+6n+17−n2+17)=7+3=10 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3+7 n^{2}}{5+n^{2}}+\sqrt{n^{2}+6 n+17}-\sqrt{n^{2}+17}\right) = 7 + 3 = 10
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Sarasino
19 de septiembre 15:31
hola flor asi esta perfecto no, saco limite al final y voy arrastrando hasta que no me queda otra que sacar limite

2024-09-19%2015:30:49_9277624.png
1 Responder
Flor
PROFE
19 de septiembre 17:48
@Sarasino Claro que siiiii, está hermoso así escrito para el parcial 🥰😍 Perfectoooo
1 Responder
Luisa
5 de mayo 14:04
Hola profe, buenas tardes. le hago una preguntica...
cuando simplificamos raíces con potencias, porque el numerador queda n2+6n+17-n2-17 ese n2-17 sale de hacer la regla de los signos?  o por que justo es negativo me perdí ahi
0 Responder
Flor
PROFE
5 de mayo 20:28
@Luisa Hola Luisa! Fijate que cuando llegamos a tener esto en el numerador:

(n2+6n+17)2−(n2+17)2(\sqrt{n^{2}+6n+17})^{2} - (\sqrt{n^{2}+17})^{2}

ahí simplificamos raíz y potencia, y clave no olvidarse del paréntesis! Porque el −- ese de adelante afecta a todo... entonces te queda:

n2+6n+17−(n2+17)n^{2}+6n+17 - (n^{2}+17)

y ahí distribuimos el −- de adelante y queda:

n2+6n+17−n2−17n^{2}+6n+17 - n^{2}-17

Ahí se ve mejor?
0 Responder
Luisa
7 de mayo 13:51
Hola profe, sii perfecto, ahi lo veo más claro, muchas gracias por tomarse el tiempo en detallarmelo
0 Responder