$ \lim _{n \rightarrow \infty} (\sqrt{9n^2 + bn} - 3n) $ Infinito menos infinito, multiplicamos y dividimos por el conjugado, blabla...  $ \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{9n^2 + bn} - 3n \right) \cdot \frac{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} $ $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(9n^2 + bn) - (3n)^2}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} $ $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9n^2 + bn - 9n^2}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} $ $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{bn}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} $ $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b}{\sqrt{9 + \frac{b}{n}} + 3} = \frac{b}{\sqrt{9} + 3} = \frac{b}{6}$

Ahora queremos que \( 0 < \frac{b}{6} < 1 \). Bueno, despejamos, pasamos el $6$ multiplicando y nos queda... $ 0 < b < 6 $ Entonces, para que se cumpla la condición del enunciado, \( b \) debe estar en el intervalo \( (0, 6) \).