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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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10. Sea an=9n2+bn−3na_{n}=\sqrt{9 n^{2}+b n}-3 n.
a) Encuentre todos los b∈Rb \in \mathbb{R} para los cuales 0<lim⁡n→∞an<10<\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}<1

Respuesta

Para encontrar los valores de b b que cumplen la condición 0<lim⁡n→∞an<1 0 < \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} < 1 , a no desesperar. Te propongo que el plan sea, primero calculamos el límite lim⁡n→∞an \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} , y después le pedimos al resultado que esté entre 00 y 11, dale?
lim⁡n→∞(9n2+bn−3n) \lim _{n \rightarrow \infty} (\sqrt{9n^2 + bn} - 3n) Infinito menos infinito, multiplicamos y dividimos por el conjugado, blabla...  lim⁡n→∞(9n2+bn−3n)⋅9n2+bn+3n9n2+bn+3n \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{9n^2 + bn} - 3n \right) \cdot \frac{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} lim⁡n→∞(9n2+bn)−(3n)29n2+bn+3n \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(9n^2 + bn) - (3n)^2}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} lim⁡n→∞9n2+bn−9n29n2+bn+3n \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9n^2 + bn - 9n^2}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} lim⁡n→∞bn9n2+bn+3n \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{bn}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} lim⁡n→∞b9+bn+3= b9+3= b6 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b}{\sqrt{9 + \frac{b}{n}} + 3} = \frac{b}{\sqrt{9} + 3} = \frac{b}{6}
Ahora queremos que 0<b6<1 0 < \frac{b}{6} < 1 . Bueno, despejamos, pasamos el 66 multiplicando y nos queda... 0<b<6 0 < b < 6 Entonces, para que se cumpla la condición del enunciado, b b debe estar en el intervalo (0,6) (0, 6) .
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ABBIE
14 de mayo 21:22
holaa flor, una duda, al realizar yo el limite, en el denominador me queda raiz de 9 + b/n + 3/n, por lo que mi limite me da b/3, me confundí en el paso de la factorización, por qué desaparece n bajo el 3?
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Flor
PROFE
14 de mayo 22:12
@ABBIE Hola Abbie! Yo acá saltee un par de pasos porque ya veníamos haciendo otros parecidos, pero te los voy a escribir acá en la tablet y me parece que con eso ya te vas a dar cuenta (sino porfa avisame y lo seguimos charlando!)

2024-05-14%2022:12:03_8755342.png
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ABBIE
15 de mayo 12:49
Holaa, ya vi mi error! Estaba contando el 3n con todo el primer factor común, y por eso los mezclé, ya me fijé muchas graciass 
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Benjamin
19 de abril 20:46
Buenas una duda, como haces cuando tenes a b sobre la raiz de 9+b/n  +3? Osea, como pasas al siguiente paso? En resumen, como despejas ese b/n??
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Flor
PROFE
20 de abril 8:34
@Benjamin Benja, ahí lo que hice fue tomar límite! Fijate que bn\frac{b}{n} cuando nn tiende a infinito se va a cero (es un número sobre algo que tiende a infinito, no te olvides que bb es un número). Entonces al tomar límite eso tiende a cero y por eso te queda b9+3\frac{b}{\sqrt{9} + 3}
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Benjamin
24 de abril 17:25
ahah okok gracias
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