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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Calcule los siguientes límites
f) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\operatorname{sen} x}{x-\cos x}$
f) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\operatorname{sen} x}{x-\cos x}$
Respuesta
Fijate que tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", si sacamos factor común "el que manda", es decir, la $x$:
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$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x(1 + \frac{\sin(x)}{x})}{x(1 - \frac{\cos(x)}{x})} $
Cancelamos las $x$...
$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1 + \frac{\sin(x)}{x}}{1 - \frac{\cos(x)}{x}} $
Y ahora, nos quedaron estos límites como cálculos auxiliares:
$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin(x) \cdot \frac{1}{x}$
$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\cos(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \cos(x) \cdot \frac{1}{x}$
En ambos casos, tenemos algo que tiende a cero multiplicando a una función que está acotada. En clase vimos que "Cero x acotada = Cero", perfecto, ambos límites nos dan $0$. Entonces...
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin(x)}{x-\cos(x)} = 1$
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Yo hice esto: -1ero: indeterminación "inf/inf"
-2do: saco factor común x (me quedó igual a vos)
-3ero: cuando remplazo denuevo con infInito en el nominador factorizado digo "sen(x) osea algo acotado, osea un número dividido infinito es = 0 (el mismo razonamiento con el cos(X)) entonces me queda 1/1.
Si bien llegamos al mismo resultado no sé si lo estoy plantando bien, no llego a entender lo que vos hiciste como 3er paso
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Espero que para el cuatri que viene tengas uno de análisis de la carrera, porque explicás DEMASIADO BIEN (aparte de ser súper copada :))
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