Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

Anterior Siguiente
2. Calcule, si es posible, los límites cuando x→+∞x\rightarrow+\infty y cuando x→−∞x\rightarrow-\infty de las siguientes funciones:
f) f(x)=x2−2x+3−xf(x)=\sqrt{x^{2}-2 x+3}-x

Respuesta

Límite en −∞-\infty
lim⁡x→−∞x2−2x+3−x \lim _{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}-x

Reemplazá despacito −∞-\infty en la expresión, mucho cuidado con los signos. La raíz se está yendo a +∞+\infty y después te queda −(−∞)=+∞-(-\infty) = +\infty. Entonces acá no hay ninguna indeterminación, este límite da

lim⁡x→−∞x2−2x+3−x=+∞ \lim _{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}-x = +\infty

Límite en +∞+\infty

lim⁡x→+∞x2−2x+3−x \lim _{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}-x

Bueno ahora sí, este es un límite como los del item anterior. Tenemos una indeterminación de tipo "infinito menos infinito", con esa raíz cuadrada, esto tiene pinta de salvarse multiplicando y dividiendo por el conjugado, hacemos eso:

lim⁡x→+∞(x2−2x+3−x)⋅(x2−2x+3+x)(x2−2x+3+x) \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x\right) \cdot \frac{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)}{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)} lim⁡x→+∞(x2−2x+3−x)(x2−2x+3+x)x2−2x+3+x \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x)(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x} lim⁡x→+∞(x2−2x+3)−x2x2−2x+3+x \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(x^2 - 2x + 3) - x^2}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x} lim⁡x→+∞−2x+3x2−2x+3+x \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x} lim⁡x→+∞−2x+3x2(1−2x+3x2)+x \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{\sqrt{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2})} + x} lim⁡x→+∞−2x+3∣x∣1−2x+3x2+x \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{{|x|}\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + x} lim⁡x→+∞−2x+3x1−2x+3x2+x \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{{x}\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + x} lim⁡x→+∞x(−2+3x)x(1−2x+3x2+1) \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x(-2 + \frac{3}{x})}{x(\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1)} Cancelamos las x x . Nos queda: lim⁡x→+∞−2+3x1−2x+3x2+1 \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1} Listooo, tomamos límite, fijate que hay varios términos que se están yendo a cero. El numerador tiende a −2 -2 , el denominador tiende a 2 2 , por lo tanto, el resultado del límite esss... lim⁡x→+∞(x2−2x+3−x)=−1 \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x\right) = -1
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Lautaro
9 de mayo 0:16
Hola Profe. Por que en el limite en - infinito no hacemos el mismo proceso de indeterminación que hacemos en limite en + infinito en este ejemplo?
0 Responder
Flor
PROFE
9 de mayo 18:06
@Lautaro Hola Lautaro! Mirá, acá está la clave: En −∞-\infty no tenes ninguna indeterminación, si vos reemplazas simplemente te queda +∞+∞+\infty +\infty y eso es... +∞+\infty. Acá te lo escribí en la tablet para que lo veas mejor por las dudas:

2024-05-09%2018:05:08_4080011.png

En cambio, en el otro cambio nos queda +∞−∞+\infty -\infty y eso es una indeterminación, por eso es que tenemos que hacer todo ese lío para salvarla :)

Se ve ahora mejor la diferencia?
1 Responder
Lautaro
11 de mayo 13:15
Ahh regla de signos, no lo habia pensado gracias!
0 Responder