Reemplazá despacito $-\infty$ en la expresión, mucho cuidado con los signos. La raíz se está yendo a $+\infty$ y después te queda $-(-\infty) = +\infty$. Entonces acá no hay ninguna indeterminación, este límite da

$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}-x = +\infty$

$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}-x $

Bueno ahora sí, este es un límite como los del item anterior. Tenemos una indeterminación de tipo "infinito menos infinito", con esa raíz cuadrada, esto tiene pinta de salvarse multiplicando y dividiendo por el conjugado, hacemos eso:

$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x\right) \cdot \frac{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)}{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)} $ $ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x)(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x} $ $ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(x^2 - 2x + 3) - x^2}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x}$ $ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x} $ $ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{\sqrt{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2})} + x} $ $ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{{|x|}\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + x} $ $ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{{x}\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + x} $ $ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x(-2 + \frac{3}{x})}{x(\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1)} $ Cancelamos las \( x \). Nos queda: $ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1} $ Listooo, tomamos límite, fijate que hay varios términos que se están yendo a cero. El numerador tiende a \( -2 \), el denominador tiende a \( 2 \), por lo tanto, el resultado del límite esss... $ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x\right) = -1 $