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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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3. Calcule, si se puede, los límites en el infinito, además de los límites en los puntos que se indican
h) f(x)=1−x1−x2,x=1−,x=−1+f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}}, x=1^{-}, x=-1^{+}

Respuesta

Límites en un punto

lim⁡x→−1+1−x1−x2 \lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}}

Numerador tiende a 2\sqrt{2} y denominador tiende a 00. Dudas sobre si es cero por derecha o por izquierda, reemplazas un −1-1 por derecha en el denominador y te fijas (algo así como −0.999...-0.999...). O también podés pensar que como tenés una raíz cuadrada, no queda otra que eso esté tendiendo a 00 por derecha (nunca una raíz cuadrada te podría dar un resultado negativo). Así que número positivo sobre algo que tiende a 00 por derecha nos da...

lim⁡x→−1+1−x1−x2=+∞ \lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}} = + \infty

Ahora calculamos el otro límite:

lim⁡x→1−1−x1−x2 \lim _{x \rightarrow 1^-} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}}

Estamos frente a una indeterminación "cero sobre cero". Te muestro salvarías esto sin usar L'Hopital sólo para que quede, de nuevo, hay que tratar de reescribir la expresión para que se me cancelen cosas:

lim⁡x→1−1−x1−x2=lim⁡x→1−1−x(1−x)(1+x)=lim⁡x→1−11+x=12 \lim _{x \rightarrow 1^-} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}} = \lim _{x \rightarrow 1^-} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \lim _{x \rightarrow 1^-} \frac{1}{\sqrt{1+x}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

(Si estás pensando que nunca se te hubiera ocurrido esto, te repito, si en un parcial te aparecía esta indeterminación probablemente la hubieras salvado con L'Hopital, que vas a ver que no requiere que te des cuenta de nada, sólo saber derivar... falta poco jeje)

Pregunta para pensar, ¿por qué nos hizo calcular estos límites en un punto? ¿11 por izquierda y −1-1 por derecha? Parece una elección random pero no lo es, fijate cuál es el dominio de la función... viene por ahí ;) Y también te vas a dar cuenta por qué no calculé los límites a ±∞\pm \infty en este caso. 
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ExaComunidad
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Luisa
10 de mayo 19:05
Hola profe, buenas noches, te hago una pregunta,  me cuesta ver a la hora de tomar limites mirar el dominio de la función; que tips o recomendación me podrías sugerir, porque veo que antes de empezar a mirar los limites laterales, yo tengo que evaluar la función cuál sería su dominio, eso no lo entiendo del todo, serias tan amable de explicarme, gracias
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Flor
PROFE
11 de mayo 12:40
@Luisa Hola Luisa! Claaaaro, es clave ver al principio cuál es el dominio de la función! 

Fijate que eso está explicado en una de las primeras clases, la encontrás acá: Funciones -> Introducción a Funciones -> ¿Qué es una función? Dominio e imagen

Ahí explico todo esooo :)
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Benjamin
25 de abril 18:23
Hola una duda, estoy queriendo sacar el limite en +infinito y creo q no me esta dando, porque abajo al final me queda algo que tiende a 0 - 1 y todo esto en raiz, osea me quedaria algo que tiende a la raiz de -1, cosa que no tiene sentido, nose como es el resultado final o como queda.
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Benjamin
25 de abril 18:30
Ya entendi jajaja, no existe limite!
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Flor
PROFE
25 de abril 19:39
Jajaja, exacto! No tiene ni sentido tomar ese límite porque ni en + ni en - infinito tenés función :)
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