$ \lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}} $

Numerador tiende a $\sqrt{2}$ y denominador tiende a $0$. Dudas sobre si es cero por derecha o por izquierda, reemplazas un $-1$ por derecha en el denominador y te fijas (algo así como $-0.999...$). O también podés pensar que como tenés una raíz cuadrada, no queda otra que eso esté tendiendo a $0$ por derecha (nunca una raíz cuadrada te podría dar un resultado negativo). Así que número positivo sobre algo que tiende a $0$ por derecha nos da...

$ \lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}} = + \infty$

Ahora calculamos el otro límite:

$ \lim _{x \rightarrow 1^-} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}} $

Estamos frente a una indeterminación "cero sobre cero". Te muestro salvarías esto sin usar L'Hopital sólo para que quede, de nuevo, hay que tratar de reescribir la expresión para que se me cancelen cosas:

$ \lim _{x \rightarrow 1^-} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}} = \lim _{x \rightarrow 1^-} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \lim _{x \rightarrow 1^-} \frac{1}{\sqrt{1+x}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

(Si estás pensando que nunca se te hubiera ocurrido esto, te repito, si en un parcial te aparecía esta indeterminación probablemente la hubieras salvado con L'Hopital, que vas a ver que no requiere que te des cuenta de nada, sólo saber derivar... falta poco jeje)

Pregunta para pensar, ¿por qué nos hizo calcular estos límites en un punto? ¿$1$ por izquierda y $-1$ por derecha? Parece una elección random pero no lo es, fijate cuál es el dominio de la función... viene por ahí ;) Y también te vas a dar cuenta por qué no calculé los límites a $\pm \infty$ en este caso.