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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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4. Calcular los siguientes límites
d) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}$

Respuesta

En este caso estamos frente a un "cero sobre cero". Nuevamente este límite sale tranquilamente con L'Hopital, como todavía no lo vimos, te muestro acá como lo salvarías sin usar L'Hopital. La presencia de esas raíces cuadradas nos hace sospechar que probablemente nos ayude multiplicar y dividir por el conjugado, probemos:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}$ $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x})(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})}{x(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})} $ $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-x)-(1+x)}{x(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2x}{x(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})} $

Simplificamos las $x$ y tomamos límite:

$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}} = \frac{-2}{2} = -1 $
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Luisa
14 de mayo 12:03
Profe una pregunta... ¿en este ejercicio no tendriamos que restirgir el dominio?
0 Responder
Flor
PROFE
14 de mayo 22:01
@Luisa Hola Luisa! Cuando arrancás el ejercicio podés pensar en el dominio de la función, teniendo en cuenta esas raíces cuadradas y que tenés a la $x$ en el denominador (y no puede ser cero), deberías terminar llegando a la conclusión que el dominio es $[-1,0) \cup(0,1]$

Ahora, fijate que en este problema a nosotras específicamente nos interesa saber que le pasa a la función cuando $x$ tiende a cero. Es decir, cuando está muy cerquita del cero, pero no es cero. Así que estamos trabajando en una zona donde la función no tiene ningún problema, se ve? Por eso es que ni mencionamos el dominio. 

Igual está muy bien que lo tengas ahí presente jajajaja grabatelo que para los ejercicios de estudio de funciones (el típico "punto 3" del parcial) siempre siempre vamos a arrancar mirando el dominio de la función
0 Responder
Luisa
14 de mayo 22:58
Perfecto profe, ¡muchas gracias por la aclaración!
0 Responder