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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Calcular los siguientes límites
e) $\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{2}-1}{x-2}-\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2 x}\right)$
e) $\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{2}-1}{x-2}-\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2 x}\right)$
Respuesta
A ver, este límite no es trivial. Vamos despacito. Lo primero que quiero que veas es que, cuando $x$ tiende a $2$, en ambos cocientes tenemos un número sobre algo que tiende a cero, así que esos cocientes se están yendo a infinito. Si hacés ese análisis despacito, vas a ver que en ambos casos estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito", hay que salvarla.
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Una idea, reescribamos esa resta de fracciones como una única fracción:
$\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{2}-1}{x-2}-\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2 x}\right) = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x^2-1) (x^2 - 2 x) - (x-2) (x^2 + x - 2)}{(x-2) \cdot (x^2 - 2x)}$
Empezamos a factorizar:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x^2-1) x (x-2) - (x-2) (x^2 + x - 2)}{(x-2) x (x-2)}$
Sacamos factor común $(x-2)$ en el numerador (y además ya hice unas distributivas)
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2) (x^3 - x -x^2 -x + 2)}{(x-2) x (x-2)}$
Simplificamos
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^3 -x^2 -2x + 2}{(x-2) x}$
Y ahora atenti, cuando $x$ tiende a $2$... el numerador tiende a $2$ y el denominador tiende a $0$: Número sobre algo que tiende a cero, eso se va a infinito! Para ver el signo, abrimos por derecha y por izquierda:
$\lim _{x \rightarrow 2^+} \frac{x^3 -x^2 -2x + 2}{(x-2) x} = +\infty$
$\lim _{x \rightarrow 2^-} \frac{x^3 -x^2 -2x + 2}{(x-2) x} = -\infty$
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