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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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4. Calcular los siguientes límites
e) lim⁡x→2(x2−1x−2−x2+x−2x2−2x)\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{2}-1}{x-2}-\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2 x}\right)

Respuesta

A ver, este límite no es trivial. Vamos despacito. Lo primero que quiero que veas es que, cuando xx tiende a 22, en ambos cocientes tenemos un número sobre algo que tiende a cero, así que esos cocientes se están yendo a infinito. Si hacés ese análisis despacito, vas a ver que en ambos casos estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito", hay que salvarla. 

Una idea, reescribamos esa resta de fracciones como una única fracción:

lim⁡x→2(x2−1x−2−x2+x−2x2−2x)=lim⁡x→2(x2−1)(x2−2x)−(x−2)(x2+x−2)(x−2)⋅(x2−2x)\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{2}-1}{x-2}-\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2 x}\right) = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x^2-1) (x^2 - 2 x) - (x-2) (x^2 + x - 2)}{(x-2) \cdot (x^2 - 2x)} Empezamos a factorizar: lim⁡x→2(x2−1)x(x−2)−(x−2)(x2+x−2)(x−2)x(x−2)\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x^2-1) x (x-2) - (x-2) (x^2 + x - 2)}{(x-2) x (x-2)} Sacamos factor común (x−2)(x-2) en el numerador (y además ya hice unas distributivas) lim⁡x→2(x−2)(x3−x−x2−x+2)(x−2)x(x−2)\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2) (x^3 - x -x^2 -x + 2)}{(x-2) x (x-2)} Simplificamos lim⁡x→2x3−x2−2x+2(x−2)x\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^3 -x^2 -2x + 2}{(x-2) x}

Y ahora atenti, cuando xx tiende a 22... el numerador tiende a 22 y el denominador tiende a 00: Número sobre algo que tiende a cero, eso se va a infinito! Para ver el signo, abrimos por derecha y por izquierda:

lim⁡x→2+x3−x2−2x+2(x−2)x=+∞\lim _{x \rightarrow 2^+} \frac{x^3 -x^2 -2x + 2}{(x-2) x} = +\infty

lim⁡x→2−x3−x2−2x+2(x−2)x=−∞\lim _{x \rightarrow 2^-} \frac{x^3 -x^2 -2x + 2}{(x-2) x} = -\infty
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Juan
2 de mayo 23:24
Gracias por las respuestas! Por ultimo, en este me costo factorizarlo tambien, entendí que en los casos de cuadraticas se hace con la resolvente, pero como se haría el de este caso? Vi que da 0/0 cuando junto ambas fracciones aunque todavia no lo se resolver, y luego distribui todos los parentesis, que me resultó pero creo que sacando factor comun va a ser mas facil y seguro tengo menos chances de pifiarle a algun numero. Osea, lo que no entendi bien es xq al factorizar la ecuación cambia (se suma un x en cada lado de la fraccion), y luego como es que se saca el factor comun (x-2), busque videos pero no explican casos como este
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Flor
PROFE
3 de mayo 20:58
@Juan Hola Juan! Primero tranqui, este límite es muy particular y por eso ni siquiera aparece algo así en una clase... Te desglosé un poco más los pasos en la tablet, que me parece que capaz así lo vas a entender mejor:

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