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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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5. Calcule los siguientes límites
a) lim⁡x→0sen⁡(3x)2x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x}

Respuesta

Bueno gente, atentí acá. Esto es lo que yo te comenté en la primer clase de límites. Todos los límites que vamos a resolver en este ejercicio saldrían por L'Hopital muy fácilmente. Así que yo acá voy a resolver todo esto sin usar L'Hopital para que les quede la guía resuelta y aparte porque seguro en clase (si vienen al día) lo están viendo. Cuando uno todavía no sabe L'Hopital, te enseñan un "límite especial" que es:

lim⁡x→0 sin⁡(x)x=1 \lim _{x \rightarrow 0}\ \frac{\sin (x)}{x} = 1

En particular esto vale para cualquier choclo que tienda a 00 que tengas en el lugar de la xx, por ejemplo

lim⁡x→0 sin⁡(3x)3x=1 \lim _{x \rightarrow 0}\ \frac{\sin (3x)}{3x} = 1

3x3x tiende a 00, lo tenés adentro del seno y abajo dividiendo, eso tiende a 11 siempre. 

En este otro ejemplo también:

lim⁡x→1sin⁡(x2+2x−3)x2+2x−3=1\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \left(x^{2}+2 x-3\right)}{x^{2}+2 x-3} = 1

Lo de adentro del seno tiende a 00 y lo tenés abajo dividiendo también, entonces "por límite especial" esto tiende a 11.

Todos estos ejercicios que vamos a resolver ahora salen intentando reescribir las expresiones para que nos aparezca un "límite especial". 

En este caso tenemos:

lim⁡x→0sen⁡(3x)2x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x}

Si multiplicamos y dividimos por 3x3x

lim⁡x→0sen⁡(3x)2x⋅3x3x=lim⁡x→0sin⁡(3x)3x⋅3x2x=lim⁡x→0sin⁡(3x)3x⋅32=1⋅32=32\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x} \cdot \frac{3x}{3x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Por lo tanto,

lim⁡x→0sen⁡(3x)2x=32\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x} = \frac{3}{2}
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Benjamin
25 de abril 20:30
Por que en los denominadores se intercambian los 2x y el 3x? 
0 Responder
Flor
PROFE
25 de abril 21:30
@Benjamin Eso lo podés hacer sin problemas. Por ejemplo, así como 2⋅32 \cdot 3 es lo mismo que tener 3⋅23 \cdot 2, tener 2x⋅3x2x \cdot 3x es lo mismo que escribirlo como 3x⋅2x3x \cdot 2x. 

Entonces los podemos intercambiar sin problemas para dejar el 3x3x abajo del sin⁡(3x)\sin(3x) y que sea más obvio que nos aparece el "límite especial". 
0 Responder
Benjamin
25 de abril 21:44
Okeyy, gracias!
0 Responder