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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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5. Calcule los siguientes límites
g) lim⁡x→0xsen⁡x1−cos⁡x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{1-\cos x}

Respuesta

Este límite sale con los mismos razonamientos que usamos en los últimos dos. Voy más rápido. Indeterminación cero sobre cero, queremos resolver sin usar L'Hopital, multiplicamos y dividimos por el conjugado: lim⁡x→0xsen⁡x1−cos⁡x=xsen⁡x1−cos⁡x1+cos⁡(x)1+cos⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{1-\cos x} = \frac{x \operatorname{sen} x}{1-\cos x} \frac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)} Reescribimos como una diferencia de cuadrados en el denominador y aplicamos la identidad trigonométrica: lim⁡x→0xsen⁡x⋅(1+cos⁡(x))sin⁡2(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x \cdot (1+ \cos(x))}{\sin^2 (x)}

Simplificamos el sin⁡(x)\sin(x) del numerador con uno de los del denominador:

lim⁡x→0x⋅(1+cos⁡(x))sin⁡(x)=xsin⁡(x)⋅(1+cos⁡(x))\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot (1+ \cos(x))}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin(x)} \cdot (1 + \cos(x))

y ahí nos apareció el límite especial, entonces:

lim⁡x→0x⋅(1+cos⁡(x))sin⁡(x)=xsin⁡(x)⋅(1+cos⁡(x))=1⋅(1+1)=2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot (1+ \cos(x))}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin(x)} \cdot (1 + \cos(x)) = 1 \cdot (1+1) = 2

Por lo tanto,

lim⁡x→0xsen⁡x1−cos⁡x=2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{1-\cos x} = 2
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ExaComunidad
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Benjamin
26 de abril 12:56
creo que te confundiste en el final, porque pusiste que la Rta. Final seria que el LIM tiende a 0, y tiende a 2 jajaj, en el video del mismo ejercicio lo pusiste en 2.
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Flor
PROFE
27 de abril 9:46
@Benjamin Jajaja, si! De hecho en el renglón de arriba puse que daba 22, tipee cualquiera cuando quise recapitular la respuesta final jaja, gracias por avisar! Ya mismo lo edito :)
0 Responder