Tenemos que resolver este límite: $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{x^{2}+1}{x+1}}$ Fijate que \(\left(1+\frac{5}{x}\right)\) tiende a 1 cuando \(x\) tiende a infinito, y el exponente \(\frac{x^{2}+1}{x+1}\) tiende a infinito. Por lo tanto, estamos frente a una indeterminación de tipo "1 elevado a infinito". Vamos a salvarla con los pasos que vimos en clase 😄 Acordate que: $\lim_{x \rightarrow+\infty}\left(1+ \text{"Algo" que tiende a cero}\right)^{\text{"Algo" dado vuelta}}=e$. Nuestro objetivo es transformar la expresión del límite para que nos aparezca eso. En este caso, la parte de "1 + algo que tiende a cero" ya la tenemos; sólo necesitamos que \(\frac{5}{x}\) aparezca dado vuelta en el exponente. Lo agregamos: $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{x}{5}}\right]^{\frac{5}{x}\cdot\frac{x^{2}+1}{x+1}}$ Identificamos que lo que está entre corchetes tiende a \(e\). Ahora, calculamos el límite que nos quedó en el exponente en un cálculo auxiliar: $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{5}{x}\cdot\frac{x^{2}+1}{x+1}\right) = \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{5(x^{2}+1)}{x(x+1)}\right) = \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{5x^2+5}{x^2+x}\right) = 5$ Genial, ya sabemos que el exponente tiende a $5$, por lo tanto el resultado es... $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{x^{2}+1}{x+1}} = e^5$