Volver a Guía
Ir al curso
En este caso tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Por L'Hopital este límite se ve A OJO que da $\frac{1}{2}$, es muy muy fácil. Ahora, sin usar L'Hopital vamos a tener que ir por camino bastante más oscuro jaja te repito, estás acá bajo tu propio riesgo 😅 Te muestro cómo harías si quisieras resolverlo sin usar L'Hopital:
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Calcule los siguientes límites
h) $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (h+2)-\ln 2}{h}$
h) $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (h+2)-\ln 2}{h}$
Respuesta
Este es el límite que queremos resolver:
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (h+2)-\ln 2}{h}$
Por propiedades de logaritmos, el numerador se puede reescribir como:
$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{h+2}{2}\right)}{h} $
Y, nuevamente, por propiedades de logaritmos podemos seguir reescribiendo esta expresión:
$ \lim _{h \rightarrow 0} \ln \left( \left(\frac{h+2}{2}\right)^{\frac{1}{h}} \right) $
En el paréntesis tenemos una expresión muy parecida al límite que sabemos que nos da $e$. Forzamos que nos aparezca multiplicando y dividiendo por $2$ en el exponente:
$ \lim _{h \rightarrow 0} \ln \left( \left(1 + \frac{h}{2}\right)^{\frac{2}{h} \cdot \frac{1}{2}} \right) $
Listo, hay una partecita que sabemos que tiende a $e$ cuando $h$ tiende a $0$, nos queda...
$ \lim _{h \rightarrow 0} \ln \left( \left(1 + \frac{h}{2}\right)^{\frac{2}{h} \cdot \frac{1}{2}} \right) = \ln(e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \ln(e) = \frac{1}{2} $
Por lo tanto, este límite nos dio $\frac{1}{2}$, tal como habíamos anticipado al principio jeje... y antes de desesperar por esta resolución, acordate que este límite con L'Hopital (que lo vamos a ver dentro de muy muy poco) salía a ojo.