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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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6. Calcule los siguientes límites
h) lim⁡h→0ln⁡(h+2)−ln⁡2h\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (h+2)-\ln 2}{h}

Respuesta

Este es el límite que queremos resolver:

lim⁡h→0ln⁡(h+2)−ln⁡2h\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (h+2)-\ln 2}{h}

En este caso tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Por L'Hopital este límite se ve A OJO que da 12\frac{1}{2}, es muy muy fácil. Ahora, sin usar L'Hopital vamos a tener que ir por camino bastante más oscuro jaja te repito, estás acá bajo tu propio riesgo 😅 Te muestro cómo harías si quisieras resolverlo sin usar L'Hopital:

Por propiedades de logaritmos, el numerador se puede reescribir como:

lim⁡h→0ln⁡(h+22)h \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{h+2}{2}\right)}{h}

Y, nuevamente, por propiedades de logaritmos podemos seguir reescribiendo esta expresión:

lim⁡h→0ln⁡((h+22)1h) \lim _{h \rightarrow 0} \ln \left( \left(\frac{h+2}{2}\right)^{\frac{1}{h}} \right)

En el paréntesis tenemos una expresión muy parecida al límite que sabemos que nos da ee. Forzamos que nos aparezca multiplicando y dividiendo por 22 en el exponente:

lim⁡h→0ln⁡((1+h2)2h⋅12) \lim _{h \rightarrow 0} \ln \left( \left(1 + \frac{h}{2}\right)^{\frac{2}{h} \cdot \frac{1}{2}} \right)

Listo, hay una partecita que sabemos que tiende a ee cuando hh tiende a 00, nos queda...

lim⁡h→0ln⁡((1+h2)2h⋅12)=ln⁡(e12)=12ln⁡(e)=12 \lim _{h \rightarrow 0} \ln \left( \left(1 + \frac{h}{2}\right)^{\frac{2}{h} \cdot \frac{1}{2}} \right) = \ln(e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \ln(e) = \frac{1}{2}

Por lo tanto, este límite nos dio 12\frac{1}{2}, tal como habíamos anticipado al principio jeje... y antes de desesperar por esta resolución, acordate que este límite con L'Hopital (que lo vamos a ver dentro de muy muy poco) salía a ojo. 
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