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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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7. Sea f(x)f(x) una función tal que sen⁡(5x)x<f(x)<x+4−2x+194\frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x} \lt f(x)<\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}+\frac{19}{4}. Calcular lim⁡x→0xf(x)+sen⁡xx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\operatorname{sen} x}{x}.

Respuesta

Organicemos un poco la situación. Nosotrxs queremos calcular este límite:

lim⁡x→0xf(x)+sen⁡xx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\operatorname{sen} x}{x}

Para eso, lo primerísimo que deberíamos saber es qué le está pasando a la función f(x)f(x) cuando xx tiende a cero. Y de la función ff sabemos que cumple que:

sen⁡(5x)x<f(x)<x+4−2x+194\frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x} \lt f(x)<\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}+\frac{19}{4}

Ah, esto tiene mucha pinta a sándwich, no? Pero claro, todo eso que vimos en sucesiones sigue valiendo. Veamos si ff nos quedó ensanguchada entre dos funciones que tienen el mismo límite, los hacemos en cálculos auxiliares:

Cálculo auxiliar 1

lim⁡x→0sen⁡(5x)x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x} Resolvemos esto sin L'Hopital, reescribimos para que nos aparezca el "límite especial" multiplicando y dividiendo por 55. lim⁡x→055sen⁡(5x)x=5⋅1=5\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5}{5} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x} = 5 \cdot 1 = 5

Cálculo auxiliar 2

lim⁡x→0 x+4−2x+194\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}+\frac{19}{4}

El gran problema de este límite es la primera parte, donde tenemos una indeterminación "cero sobre cero", veamos específicamente eso a dónde tiende:

lim⁡x→0 x+4−2x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}

Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

lim⁡x→0x+4−2x⋅x+4+2x+4+2=lim⁡x→0(x+4−2)(x+4+2)x(x+4+2)=lim⁡x→0(x+4)−4x(x+4+2)=lim⁡x→0xx(x+4+2) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}

Simplificamos las xx y tomamos límite:

lim⁡x→011(x+4+2)=14\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{4}

Por lo tanto,

lim⁡x→0 x+4−2x+194= 14 + 194=5\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}+\frac{19}{4} = \frac{1}{4} + \frac{19}{4} = 5

Impecable, entonces por el teorema del sándwich podemos afirmar que...

lim⁡x→0f(x)=5\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = 5

Ahora si, volvemos a nuestro límite:

lim⁡x→0xf(x)+sen⁡xx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\operatorname{sen} x}{x} ¿Y como resolvemos esto? Yo arrancaría distribuyendo esa xx del denominador: lim⁡x→0xf(x)x+sin⁡(x)x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)}{x} + \frac{\sin(x)}{x} En el primer sumando se nos cancelan las xx y nos queda simplemente la ff (que sabemos que tiende a 55 cuando xx tiende a 00. Y a la derecha nos quedó el límite especial! Entonces... lim⁡x→0f(x)+sin⁡(x)x=5+1=6\lim _{x \rightarrow 0} f(x)+ \frac{\sin(x)}{x} = 5 + 1 = 6
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