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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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8. Determine en cada caso el valor de la constante aa
b) lim⁡x→1x2+ax−1−x3+ax−1x−1=−2\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+a x-1}-\sqrt{x^{3}+a x-1}}{x-1}=-2

Respuesta

En este caso, independientemente del valor de aa, tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

lim⁡x→1x2+ax−1−x3+ax−1x−1⋅x2+ax−1+x3+ax−1x2+ax−1+x3+ax−1 \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+a x-1}-\sqrt{x^{3}+a x-1}}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1}}{\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1}}

lim⁡x→1(x2+ax−1)2−(x3+ax−1)2(x−1)(x2+ax−1+x3+ax−1) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{x^{2}+a x-1})^2-(\sqrt{x^{3}+a x-1})^2}{(x-1)(\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1})}

lim⁡x→1(x2+ax−1)−(x3+ax−1)(x−1)(x2+ax−1+x3+ax−1) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}+a x-1)-(x^{3}+a x-1)}{(x-1)(\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1})}

lim⁡x→1−x3+x2(x−1)(x2+ax−1+x3+ax−1) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-x^{3}+x^{2}}{(x-1)(\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1})}

Sigue presente el "cero sobre cero", pero podemos factorizar la expresión de arriba y...

lim⁡x→1−x2(x−1)(x−1)(x2+ax−1+x3+ax−1) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-x^{2}(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1})}

¡Se nos cancelan los (x−1)(x-1)!

lim⁡x→1−x2x2+ax−1+x3+ax−1 \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1}}

Tomamos límite:

lim⁡x→1−x2x2+ax−1+x3+ax−1=−1a+a=−12a \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1}} = \frac{-1}{\sqrt{a}+\sqrt{a}} = \frac{-1}{2\sqrt{a}}

Genial, ahora igualamos el resultado a −2-2, que es lo que queríamos que de el límite, y despejamos aa:

−12a=−2 \frac{-1}{2\sqrt{a}} = -2

−1=−4a -1 = -4\sqrt{a}

14=a \frac{1}{4} = \sqrt{a}

116=a \frac{1}{16} = a

y ese es el resultado =)
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