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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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9. Halle los límites en +∞+\infty y en −∞-\infty de las siguientes funciones. Además calcule, si existe, el límite en los puntos indicados
a) f(x)=10e2x5e2x+3x2f(x)=\frac{10 e^{2 x}}{5 e^{2 x}+3 x^{2}}

Respuesta

Límite en +∞+\infty

lim⁡x→+∞10e2x5e2x+3x2 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{10 e^{2x}}{5 e^{2x} + 3x^{2}}

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", acordate que e+∞=+∞e^{+\infty} = +\infty
Sacamos factor común "el que manda" (manda la exponencial eh, no el polinomio)

lim⁡x→+∞10e2xe2x(5+3x2e2x) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{10 e^{2x}}{e^{2x}(5 + \frac{3x^{2}}{e^{2x}})}

Simplificamos:

lim⁡x→+∞105+3x2e2x \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{10}{5 + \frac{3x^{2}}{e^{2x}}}

Ahora, la parte de 3x2e2x\frac{3x^{2}}{e^{2x}} tiende a 00 cuando x→+∞x \rightarrow +\infty. La exponencial, que está en el denominador, crece muuucho más rápido que el polinomio (imaginate si querés que "tiene grado mayor"). De todas formas, este límite en el parcial lo vas a poder justificar sin problemas usando L'Hopital. Entonces,

lim⁡x→+∞105+3x2e2x=2 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{10}{5 + \frac{3x^{2}}{e^{2x}}} = 2

Límite en −∞-\infty

lim⁡x→−∞10e2x5e2x+3x2 \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{10 e^{2x}}{5 e^{2x} + 3x^{2}}

Ahora, acordate que e−∞=0e^{-\infty} = 0. Por lo tanto, acá no tenemos ninguna indeterminación y este límite da...

lim⁡x→−∞10e2x5e2x+3x2=0 \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{10 e^{2x}}{5 e^{2x} + 3x^{2}} = 0
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ExaComunidad
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tomas
27 de abril 0:32
buenas flor y exacomunidad, una duda, cuando hacemos el lim tendiendo a -infinito no queda cero arriba y abajo? o el resultado de cero es una vez "salvando" la indeterminación? gracias! 
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Flor
PROFE
27 de abril 10:38
@tomas Hola Tomi! En la parte del límite tendiendo a −∞-\infty fijate que te queda:

* Numerador: 10⋅e2x=10⋅0=0⇒10 \cdot e^{2x} = 10 \cdot 0 = 0 \Rightarrow El numerador tiende a cero

* Denominador: 5⋅e2x+3x2=5⋅0+3⋅(−∞)2=0+∞=+∞⇒5 \cdot e^{2x} + 3x^2 = 5 \cdot 0 + 3 \cdot (-\infty)^2 = 0 +\infty = +\infty \Rightarrow El denominador tiende a + infinito

Así que en realidad ahí no tenés ninguna indeterminación, porque 00 dividido algo que tiende a infinito, tiende a cero. 

Avisame si ahora con los pasos más desglosados lo viste más claro! :)
0 Responder
tomas
27 de abril 18:13
aaa, si ahora lo ví mejor! ayer me quede mirando la pantalla un buen rato jaja, gracias como siempre!
0 Responder