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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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9. Halle los límites en +∞+\infty y en −∞-\infty de las siguientes funciones. Además calcule, si existe, el límite en los puntos indicados
b) g(x)=4e−x2x2−16g(x)=\frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16}, x=4x=4, x=−4x=-4

Respuesta

Límite en +∞+\infty

lim⁡x→+∞4e−x2x2−16 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16}

Como e−∞=0e^{-\infty} = 0, entonces no hay ninguna indeterminación el límite nos da...

lim⁡x→+∞4e−x2x2−16=0 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16} = 0

Límite en −∞-\infty

En este caso pasa lo mismo, la exponencial se sigue yendo a 00 y...

lim⁡x→−∞4e−x2x2−16=0 \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16} = 0

Límite en x=4x=4

lim⁡x→44e−x2x2−16 \lim _{x \rightarrow 4} \frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16}

En este caso, el numerador tiende a número positivo y el denominador se está yendo a 00. Por lo tanto, este límite nos va a dar infinito, abrimos por derecha y por izquierda para ver el signo:

lim⁡x→4+4e−x2x2−16=+∞ \lim _{x \rightarrow 4^+} \frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16} = +\infty

lim⁡x→4−4e−x2x2−16=−∞ \lim _{x \rightarrow 4^-} \frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16} = -\infty

Límite en x=−4x=-4

lim⁡x→−44e−x2x2−16 \lim _{x \rightarrow -4} \frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16}

Mismo que antes, el numerador tiende a número positivo y el denominador se está yendo a 00, abrimos por derecha y por izquierda:

lim⁡x→−4+4e−x2x2−16=−∞ \lim _{x \rightarrow -4^+} \frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16} = -\infty

lim⁡x→−4−4e−x2x2−16=+∞ \lim _{x \rightarrow -4^-} \frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16} = +\infty
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Ezequiel
2 de mayo 12:01
Buenas Flor, tengo dos dudas, la primera es respecto a los limites en +∞ y -∞ de e, no lo podría pensar como que e^−x^2 es lo mismo que 1/e^x^2? Entiendo que no porque si no el límite me daría distinto, pero cómo que veo el `-` y siento la necesidad de pasarlo para abajo.
La segunda duda que tengo es sobre los limites en -4 por derecha y por izquierda, ¿no deberían dar igual que el +4 por derecha y por izquierda?, porque al final que estén elevados al cuadrado los transforma en positivos y quedan igual que antes o no?, no entiendo porque te dio al revés.
0 Responder
Flor
PROFE
2 de mayo 20:15
@Ezequiel Hola Eze! Muy buena pregunta! Tu primera duda es totalmente válida y de hecho podría haber sido otra forma de encarar este límite 😊 

Fijate que si vos pasas la exponencial al denominador, te queda entonces un 44 en el numerador y un denominador que se está yendo a infinito (porque ex2e^{x^2} ahora tiende a infinito, y la estás multiplicando por el x2−16x^2 - 16 que también tiende a infinito)... Y número sobre algo que tiende a infinito, te da cero :) Así que termina dando lo mismo, lo ves?

Y con respecto a tu segunda duda... Fijate que un −4-4 por izquierda sería algo así como un −4.00001-4.00001 ponele... y un 44 por derecha sería algo así como 4.000014.00001 y cuando lo elevas al cuadrado te termina dando lo mismo :) Por eso terminan "intercambiados" 

Avisame si ahora queda más claro :)
1 Responder
Ezequiel
3 de mayo 10:28
Aaa claro se multiplica y queda todo infinito abajo y da 0 también, por eso e-x da 0 también. Y después en el otro me confundí derecha por izquierda por eso no me daba jajaj, me mezclé un poco por el negativo. Muchas gracias, Flor! 
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Benjamin
26 de abril 18:20
Osea, siempre tenemos que abrir por der e izq cuando tenemos un numero positivo sobre algo que se va a 0?
0 Responder
Flor
PROFE
27 de abril 10:18
@Benjamin Siempre que vos tengas un número (distinto de cero) sobre algo que tiende a cero, eso se va a ir a infinito, y si necesitás saber el signo de ese infinito, abris por derecha y por izquierda y te fijas si ese denominador que tiende a cero es un cero por derecha (positivo) o por izquierda (negativo). Y ahí ya podés fijarte el signo de ese infinito por regla de signos, viendo si el numerador y el denominador son positivos o negativos
0 Responder