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@Sarasino Exacto, para derivar tanto lo de arriba como lo de abajo aplicás regla de la cadena, y te quedaría:
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@Flor gracias flor, hoy ya pude aplicar todo y me sale vamos bien por ahora tus videos me salvaron literal
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@Fernando Hola Fer! Ojalá se pudiera, pero no 😭 Porque el problema que tenés cuando vos llegás a esa expresión que me marcaste en rojo, aún cuando $y$ tiende a cero, lo de adentro del seno no tiende a $0$, entonces no podés aplicar el "límite especial".
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wau! cierto ya me me reaseguro como identificar el limite especial ,enrealidad si se ve muy interesante como se aplica artificios ,ayuda mucho como podrias ver de otra manera las expresiones y resolver el ejercicio de forma algo extensa pero que se necesita mucha cautela ,igual jajaj me quedare con la idea que el parcial lo hare con L´Hopital :) muchas gracias flor ,saludos !
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11.
Calcule los siguientes límites
a) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{\operatorname{sen}(3 x \pi)}$
a) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{\operatorname{sen}(3 x \pi)}$
Respuesta
Los límites de este ejercicio me da mucho dolor resolverlos sin L'Hopital. Este límite, una vez que sabés derivar y aprendiste L'Hopital, ves A OJO que da $\frac{1}{3}$. Es un regalo. Ahora, resolverlo sin L'Hopital es un flor de quilombo... lo voy a resolver sólo para que quede acá, pero como te dije en varios problemas, seguís acá bajo tu propio riesgo.
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Primero, es una indeterminación de tipo "cero sobre cero" y algo que tenemos que hacer para salvarla.
La mayor dificultad con este límite es que lo de adentro del seno no tiende a cero, y no podemos usar el límite especial. Tenemos que introducir algún cambio de variable. Podemos hacer un cambio de variable con \( y = x-1 \), entonces cuando \( x \rightarrow 1 \), tenemos \( y \rightarrow 0 \). Reemplazamos \( x \) por \( y+1 \) en la expresión original:
$ \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin((y+1) \pi)}{\sin(3(y+1) \pi)} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y\pi + \pi)}{\sin(3y\pi + 3\pi)} $
Ahora usamos la identidad trigonométrica para el seno de la suma, que dice que:
$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(a)$
(a ojo sale con L'Hopital, repito)
Entonces, nos queda:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y\pi + \pi)}{\sin(3y\pi + 3\pi)} = \frac{\sin(y\pi)\cos(\pi) + \cos(y\pi) \sin(\pi)}{\sin(3y\pi)\cos(3\pi) + \cos(3y\pi) \sin(3\pi)} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{-\sin(y\pi)}{-\sin(3y\pi)} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y\pi)}{\sin(3y\pi)} $
Ahora si lo de adentro del seno tiende a $0$ y vamos a poder reescribir la expresión para usar el límite especial:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\frac{y\pi}{y\pi} \sin(y\pi)} { \frac{3y\pi}{3y\pi} \sin(3y\pi)} = \frac{ y\pi }{ 3y\pi} = \frac{1}{3}$
Por lo tanto, el límite da $\frac{1}{3}$, como ya te había anticipado. Este límite no es difícil, es un regalo si te aparece en el parcial. Lo difícil fue resolverlo sin poder usar L'Hopital.
ExaComunidad
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Flor
PROFE
30 de septiembre 21:22
$\lim_{x \to 1} \frac{\cos(x\pi) \cdot \pi}{\cos(3x\pi) \cdot 3\pi}$
Los $\pi$ se cancelan:
$\lim_{x \to 1} \frac{\cos(x\pi)}{\cos(3x\pi) \cdot 3}$
Tomamos límite, como lo de adentro de los cosenos tiende a $0$ y $\cos(0) = 1$ te queda
$\lim_{x \to 1} \frac{\cos(x\pi)}{\cos(3x\pi) \cdot 3} = \frac{1}{3}$
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Sarasino
30 de septiembre 21:56
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Fernando
29 de abril 3:25
Hola flor,todo bien ? ,una consulta una vez transformado con el cambio de variable y que y tienda a 0 podemos realizar la multiplicacion para formar los "limites especiales" ? ,porque realizar la identidad trigonometrica lo veo mucho trabajoso o tengo que seguir ese paso si o si ? ,ahi en la imagen lo encerre si puedo formar en el numerador el limite especial y despues en el denominador ?
Flor
PROFE
29 de abril 10:47
Acordate que en el limite especial "lo de adentro del seno", que es lo mismo que está abajo dividiendo, tiene que tender a cero para que vos puedas decir que ese límite da $1$. Por eso hay que hacer todo el quilombo, y de hecho fijate que yo recién hago lo de multiplicar y dividir por lo que necesito para que aparezca el límite especial, al final, cuando ya lo reescribimos de tal forma que lo de adentro del seno tiende a cero.
Tranqui igual con este tipo de ejercicios, veo que la estás cursando en cátedra única, no? Este tipo de límites jamás lo volverías a resolver así una vez que aprendiste L'Hopital. Si venís al da está bueno que veas cómo se podría resolver, son más herramientas que uno va ganando, pero nunca lo resolverías así en un parcial eh jaja
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Fernando
30 de abril 1:18
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