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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
11.
Calcule los siguientes límites
c) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+5 x)}{e^{x}-1}$
c) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+5 x)}{e^{x}-1}$
Respuesta
Sigue el dolor, porque este límite nuevamente es un regalo hacerlo con L'Hopital y se ve A OJO que da $5$ (falta muy poco, te prometo!) Acá tenemos que encontrar la forma de resolverlo sin L'Hopital y eso es lo complicado. Para poder hacer eso, tenés que "acordarte" que otros dos límites especiales:
Reportar problema
1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\)
2. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)
Vamos a intentar transformar nuestro límite para que nos aparezca eso.
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+5 x)}{e^{x}-1}
$
Multiplicamos y dividimos por $5x$
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+5 x)}{5x} \cdot \frac{5x}{e^{x}-1}
$
$
\lim _{x \rightarrow 0} 5 \cdot \frac{\ln (1+5 x)}{5x} \cdot \frac{x}{e^{x}-1}
$
Por lo tanto, usando los límites especiales nos da...
$
\lim _{x \rightarrow 0} 5 \cdot \frac{\ln (1+5 x)}{5x} \cdot \frac{x}{e^{x}-1} = 5
$
Bueno, listo, esto es la resolución sin L'Hopital. Cuando aprendas L'Hopital no vas a tener que acordate de ningún límite especial y esta resolución hasta va a sonarte rara jaja... aguantá que falta poco 😅