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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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11. Calcule los siguientes límites
c) lim⁡x→0ln⁡(1+5x)ex−1\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+5 x)}{e^{x}-1}

Respuesta

Sigue el dolor, porque este límite nuevamente es un regalo hacerlo con L'Hopital y se ve A OJO que da 55 (falta muy poco, te prometo!) Acá tenemos que encontrar la forma de resolverlo sin L'Hopital y eso es lo complicado. Para poder hacer eso, tenés que "acordarte" que otros dos límites especiales:

1. lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 2. lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

Vamos a intentar transformar nuestro límite para que nos aparezca eso. 

lim⁡x→0ln⁡(1+5x)ex−1 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+5 x)}{e^{x}-1}

Multiplicamos y dividimos por 5x5x

lim⁡x→0ln⁡(1+5x)5x⋅5xex−1 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+5 x)}{5x} \cdot \frac{5x}{e^{x}-1}

lim⁡x→05⋅ln⁡(1+5x)5x⋅xex−1 \lim _{x \rightarrow 0} 5 \cdot \frac{\ln (1+5 x)}{5x} \cdot \frac{x}{e^{x}-1}

Por lo tanto, usando los límites especiales nos da...

lim⁡x→05⋅ln⁡(1+5x)5x⋅xex−1=5 \lim _{x \rightarrow 0} 5 \cdot \frac{\ln (1+5 x)}{5x} \cdot \frac{x}{e^{x}-1} = 5

Bueno, listo, esto es la resolución sin L'Hopital. Cuando aprendas L'Hopital no vas a tener que acordate de ningún límite especial y esta resolución hasta va a sonarte rara jaja... aguantá que falta poco 😅
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