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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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18.
b) Demuestre que la ecuación $x^{2}=\sqrt{x+1}$ tiene al menos una solución. Encuentre un intervalo de longitud 1 o menor que la contenga.

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Avatar Manuel 16 de mayo 19:11
Holaa flor, una consulta, el ejercicio lo entendi pero en lugar de pasar la raiz para el lado izquierdo, habia pasado la X al cuadrado para el lado derecho, restando obviamente. Me di cuenta que en ambos casos (si pasas la raiz o la X al cuadrado) te da resultados diferentes de Y en los mismos X, sabes porque pasa esto y como darme cuenta cual de los dos tengo que pasar para el otro lado?
Gracias!
Avatar Manuel 16 de mayo 19:16
Por ejemplo, raiz de (X + 1) - X al cuadrado de X = -1 da como resultado -1, cuando a vos te dio 1 y no entiendo porque. Despues pense que capas daba siempre el signo invertido pero en X=1, por ejemplo, da diferente numero y mismo signo asi que tampoco es eso. Se me hizo medio larga la pregunta al final pero bueno eso jajajaksjj mil gracias

Avatar Flor Profesor 17 de mayo 18:51
@Manuel Hola Manuel! Es muy buena esta pregunta y la realidad es que no hay "un camino correcto", ambos están bien! Te muestro por qué. 

Yo acá decidi, a partir de esta ecuación:

$x^{2}=\sqrt{x+1}$ 

Pasar la raíz restando para el otro lado, y entonces me quedó así:

$x^{2} - \sqrt{x+1} = 0$

Entonces digo, si yo quiero demostrar que la ecuación $x^{2}=\sqrt{x+1}$ tiene al menos una solución, eso es equivalente a demostrar que esta otra ecuación tiene solución -> $x^{2} - \sqrt{x+1} = 0$ -> Entonces me defino esta función $f(x) = x^{2} - \sqrt{x+1}$ y pruebo que tiene al menos una raíz

Ahora, si vos decidias reescribir al revés a la ecuación, entonces con la misma idea que antes, probar que nuestra ecuación original tiene solución es también equivalente a probar que esta otra ecuación tiene solución: $\sqrt{x+1} - x^2 = 0$ 

Entonces vos ahora, para probar esto, te definis otra función, que si querés le cambio el nombre para que no se nos confunda con la otra, $g(x) = \sqrt{x+1} - x^2$, y tengo que probar que tiene al menos una raiz. 

Pero fijate que la clave está en que, en ambos caminos, tenés dos funciones diferentes (asi que es normal que se comporten diferentes y obtengas distintos valores de $y$ para un mismo $x$), pero en definitiva nosotros sólo tenemos que probar que esta función corta al eje $x$ al menos una vez y eso prueba nuestra ecuación original 

No sé si se entendió! Avisame y cualquier cosa lo seguimos charlando!

Aviso por las dudas que, más adelante en la práctica 7, vamos a hacer más ejercicios de este estilo de probar cuántas soluciones tiene una ecuación "fabricandonos" una función que vamos a estudiar, y está bueno que ya vaya quedando esta idea, podemos "usar" funciones diferentes (siempre y cuando hayan salido de despejar nuestra ecuación original jaja) pero al final todos llegamos a la misma conclusión respecto a la ecuación del principio :)
Avatar Claudia 22 de julio 17:09
Hola! Hay forma de resolver esto que no sean probando con cualquier número? Gracias
Avatar Flor Profesor 22 de julio 17:54
@Claudia Hola Claudia! Para demostrar que esa ecuación tiene al menos una solución, dentro de poco vamos a ver que lo podemos demostrar -y de una manera mucho mejor jaja- usando estudio de funciones (Práctica 7). Ahora, para encontrar especificamente un intervalo de longitud 1 o menor que la contenga, el "método" que se ve en Análisis del CBC es este, partiendo del Teorema de Bolzano y encontrando un intervalo donde veas que la función cambia de signo, no es que después vamos a ver una herramienta mejor. 
Avatar ian 8 de mayo 18:12
Hola flor, como andas? te hago una pregunta que no termino de entender de este punto y el anterior. Cuando te pide que encuentres un intervalo de longitud 1 o menor que la contenga, se refiere a que mi intervalo tenga una distancia de número 1 o menor (en este caso) que contenga una solución?
Y esa solución vendría siendo F(c)?
Avatar Flor Profesor 9 de mayo 09:04
@ian Hola Ian! Claro, un intervalo de longitud $1$ unidad sería por ejemplo el de este caso $[-1,0]$, o también podría ser $[2,3]$, $[4,5]$, $[-0.5,0.5]$, se ve? 

Y en estos casos la solución es $x= c$, o sea vos probaste que existe un $x=c$ que hace que la función valga cero (y por lo tanto ahí corte al eje $x$)
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