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En este caso queremos derivar:
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Análisis Matemático 66
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Halle, usando el cociente incremental, el valor de la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Escriba la ecuación de la recta tangente en esos mismos puntos
b) $f(x)=\frac{2}{x-1}$, en $x=5$
b) $f(x)=\frac{2}{x-1}$, en $x=5$
Respuesta
*Como te expliqué en el Ejercicio 1, no vamos a resolver estas derivadas usando el cociente incremental. Las vamos a derivar usando la tabla y reglas de derivación, que es como vos las vas a derivar siempre.
$f(x) = \frac{2}{x-1}$
Una manera de derivar esta función es reescribiéndola así:
$f(x) = 2 \cdot (x-1)^{-1}$
usando reglas de potencias. Y ahora: Ese $2$ es una constante que está multiplicando, simplemente la arrastramos multiplicando. Y el $(x-1)^{-1}$ lo derivamos como un polinomio + regla de la cadena. Nos quedaría
Usando la tabla de derivadas que vimos en la primera clase y regla de la cadena, la derivada es...
$f'(x) = 2 \cdot (-1) (x-1)^{-2} = -\frac{2}{(x-1)^2}$
Ahora evaluamos en $x=5$ y nos queda...
$f'(5) = -\frac{2}{(5-1)^2} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$
Por último, nos pide la ecuación de la recta tangente en $x=5$. Sabemos que esta recta va a estar dada por
$y = f'(5) \cdot (x-5) + f(5)$
Reemplazamos:
$y = -\frac{1}{8} \cdot (x-5) + \frac{1}{2}$
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