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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5: Derivada

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5. Usando las reglas de derivación, halle las derivadas de las siguientes funciones en su dominio de definición
i) $f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)}$

Respuesta

$f(x)= \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ 

Aplicamos la regla del cociente (tenemos dos cosas que dependen de $x$ que se están dividiendo!) 

\( f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
 
Esto podrías dejarlo así y ya, pero fijate que aplicando la identidad trigonométrica \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \): \( f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \) 

*Aclaración: ¿Quién es la función $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$? ¡Es $\tan(x)$! Lo que acabamos de calcular es la derivada de $\tan(x)$ 😃
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Avatar Luisa 28 de mayo 11:07
Hola profe, le hago una pregunta, cuando yo derive no me queda tal cual su ejercicio con el mio porque tengo entendio que primero se deriva el primer termino, el segundo sin derivar - el primer sin derivar y el segundo derivado sobre el segundo sin derivar al cuadrado, y segun esto a mi me queda: cos(x).sen(x)- sen(x). cos(x)/ cos(x) al cuadrado; o al menos que el orden no alterece el resultado, no se me podrias explicar por fa
Avatar Flor Profesor 29 de mayo 08:26
@Luisa Hola Luisa! A ver, pero vos estás tomando también como yo, a $\sin(x)$ como "el primero" y $\cos(x)$ como "el segundo"... Entonces, por ejemplo, cuando haces al principio el primero derivado por el segundo sin derivar, te queda: $\cos(x) \cdot \cos(x)$ (la derivada del seno multiplicando al coseno, que es el segundo sin derivar), y después lo mismo para la otra parte... el primero sin derivar por el segundo derivado -> $\sin(x) \cdot (-\sin(x))$ (el primero es el seno, que lo ponemos así sin derivar, y multiplico por la derivada del segundo, o sea por la derivada del coseno que es -sin(x)) 

Me parece que se te mezclaron el primero con el segundo, puede ser? Avisame si queda más claro cómo hacerla, porque regla del cociente lo aplicamos todo el tiempo, así me quedo tranqui que quedo claro y sino lo seguimos charlando! :)
Avatar Flor Profesor 29 de mayo 08:27
@Luisa Por las dudas, fijate que esta derivada yo la usé en la clase en video de Regla del cociente, seguro quede mucho más claro viéndola en video! Está en Derivadas -> Reglas de derivación -> Regla del cociente, está en el Minuto 2:30
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