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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5: Derivada

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8. Calcule la derivada de la función en su dominio de definición, siendo $f(x)=$
a) $x^{x}$

Respuesta

En la clase de Regla de la Cadena no vimos cómo derivar este tipo de funciones, cuando tenemos algo que depende de $x$ elevado a otra cosa que también depende de $x$. Honestamente no lo puse en una clase porque jamás tomaron una derivada de este estilo en un parcial y a la hora de grabar las clases claramente tengo que ir haciendo un recorte y jerarquizando lo más importante para enfrentar el parcial.

Igual ya que estás acá aprovechamos este ejercicio para ver los pasos que tendríamos que seguir cuando queremos derivar algo que depende de $x$ elevado a algo que también depende de $x$:

Queremos derivar $x^{x}$
 
1. Tomamos logaritmo natural de ambos lados:
$\ln(f(x)) = \ln(x^x)$ 2. Aplicamos una de las propiedades del logaritmo a la derecha:
$\ln(f(x)) = x \ln(x)$ Ahora derivamos a ambos lados respecto de $x$ (use regla de la cadena para derivar lo de la izquierda y regla del producto para derivar lo de la derecha!) $\frac{1}{f(x)} f'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}$ Reacomodando: $\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + 1$ Finalmente, despejamos \( f'(x) \): $f'(x) = f(x) \cdot (\ln(x) + 1)$ Recordando que \( f(x) = x^x \), sustituimos: $f'(x) = x^x \cdot (\ln(x) + 1)$ Por lo tanto, la derivada de la función \( f(x) = x^x \) es: $f'(x) = x^x \cdot (\ln(x) + 1)$
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Avatar Benjamin 5 de mayo 18:05
Buenas flor, entonces, sinceramente jaja, vos decis que haga este ejercicio o ejercicios donde esten estos tipos de calculos para este tipo de funciones? Porque medio que si en el parcial no va a aparecer, como q no sirve tanto, no?
Avatar Flor Profesor 5 de mayo 21:44
@Benjamin Con honestidad jaja el año pasado en clases particulares me la pasé resolviendo parciales y parciales de cátedra única, y en los últimos años no vi que aparezca una derivada así... Ya que estás acá yo miraría la resolución para saber que esto existe, pero eligiría mis batallas y avanzaría hacia la los próximos ejercicios xD

Para que tengas en cuenta en los próximos ejercicios de esta guía aparecen muchos ejercicios de estudio de derivabilidad en funciones partidas, eso es un típico "punto 2" del parcial... con el pequeño detalle que segurísimo que en el parcial va a aparecer un límite ahí para aplicar L'Hopital... Así que cuando los mires, entendé bien la estructura del ejercicio y cómo hacemos para ver si una función es derivable en un punto, pero no enloquezcas si aparecen límites que todavia tenemos que resolver con "límites especiales" o factorizando, esos van a salir con L'Hopital directamente en breve jaja (de hecho fijate en las clases que recién después de ver L'Hopital puse videos resolviendo ejercicios de derivabilidad de parcial, antes no)
Avatar Benjamin 6 de mayo 16:19
Claro claro, dale, gracias !
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